顺义区2015届高三第一次统练
数学试卷答案（理科）
一、CBAD DCBC 二、
9. 33 10. ?2 11. -30 12.360 13.4，三、 15.解
解:(I)在?ABC中,因为B?A?所以B?A?251 14.
24?2,
?2,即
?2?B??, …….............................................................2分
所以
??????sinA?sin?B????sin??B???cosB ..........................................4分
2???2??6?3 ........................................???1?sin2B?1????3??3????2...5分
ab?得sinAsinB332?bsinA3?3. ...........................7分 a??sinB63由正弦定理,
(II)因为B?A??2,即B?A??2,
所以B为钝角,A为锐角. 由(I)可知,sinA?3, 36
所以
?3?6. ...........................................9分 cosA?1?sin2A?1????3??3??又sinB?所以
263, ...........................................10分 ,cosB??33cosC?cos?????A?B?????cos?A?B? ...........................................11分
...........................................12分
??cosAcosB?sinAsinB6?3?36?????????33?33 ???22.3 ...........................................13分
16.解（I）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为 6元/kg”，
由题意知P(A)?0.3,P(B)?0.6. ...........................................1分 因为利润?产量?市场价格?成本 所以X的所有可能的取值为
300?6?800?1000,300?10?800?2200,500?6?800?2200,500?10?800?4200.P(X?1000)?P(A)P(B)?0.5?0.6?0.3P(X?2200)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)?0.5?0.4?0.5?0.6?0.5P(X?4200)?P(A)?P(B)?0.5?0.4?0.2...................................
........6分
7
所以X的分布列为
...........................................7分 （II）
这3年中第二年的利润少于第一年的概率为
P(X?2200)?P(X?1000)?P(X?4200)?P(X?1000) ?P(X?4200)?P(X?2200)?0.31. .....................................
......13分
17.
（I）证明：在?PAD中，PA?PD,Q为AD中点.
所以PQ?AD ...........................................1分 因为平面PAD?底面ABCD，且平面PAD?底面ABCD?AD
所以PQ?底面ABCD ...........................................3分 又AB?平面ABCD
所以PQ?AB. ...........................................4分 （II）解：在直角梯形ABCD中，AD//BC,BC?所以
所以四边形BCDQ为平行四边形
因为AD?DC 所以AD?QB
8
1AD,Q为AD中点 2由（I）可知PQ?平面ABCD
所以，以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系，Q?xyz.如图.
则Q(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,3),C(?1,3,0),
D(?1,0,0),B(0,3,0).
所以
uuruuuruuurPB?(0,3,?3),CD?(0,?3,0),PD?(?1,0,?3) ...........................................
6分
?设平面PCD的法向量为n?(x,y,z),则
?????????n?CD?0??3y?0?y?0,,即亦即 ????????????x??3z?n?PD?0??x?3z?0?令z?1，得x??3,y?0.所以n?(?3,0,1) ...........................................8
分
设直线PB与平面PCD所成角为?，则
??????????n?PB2??sin??|cos?n,PB?|?????.
4|n||PB|所以PB与平面PCD所成角的正弦值为分
（III）解：如（II）中建立空间直角坐标系 因为AQ?PQ,AQ?BQ 所以AQ?平面PQB
9
2. ...........................................104????
即QA为平面PQB的法向量，且????QA?(1,0,0). ...........................................11分
因为M是棱PC的中点 所以点M的坐标为(?,133,) 222????又QB?(0,3,0)
??设平面MQB的法向量为m?(x,y,z).
????????m?QB?0则??????? ???m?QM?0?3y?0?即?1 33y?z?0??x??222令z?1,得x?3,y?0 所以
??m?(3,0,1) ........................... .........................................
..13分
????????????OA?m3?所以cos?QA,m????? ?|OA||m|2由题知，二面角P?QB?M为锐角 所以二面角P?QB?M的余弦值为分 18.
（I）解：f(x)?a2x2?ax?lnx
3................ ...........................................14210