第8讲 抛物线
知识纵横
一般地，我们称函数y?ax2?bx?c(a、b、c为常数，a?0)为x的二次函数，其图像为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：
1、a、b、c的符号决定抛物线的大致位臵；
?b4ac?b2?b?2、抛物线关于x??对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a相关，抛物线在顶点?处?,??2a4a??2a取得最值；
3、抛物线的解析式有下列三种形式： ?一般式：y?ax2?bx?c； ?顶点式：y?a(x?h)2?k；
?交点式：y?a(x?x1)(x?x2)，这里x1、x2是方程ax?bx?c?0的两个实根。确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键。 例题求解
【例1】已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
2x y ... ... ?3 2-1 -2 ??1 29 40 -2 12? 541 0 3274 ... ... ?5 4则二次函数的解析式为 。
（天津市中考题）
思路点拨 从表格中可获取丰富的信息，用不同方法求该二次函数的解析式。
【例2】二次函数y?ax2?bx?c的图像如图所示，现有以下结论：①abc?0；②b?a?c；③4a?2b?c?0；④2c?3b；⑤a?b?m(am?b)(m?1)。其
中正确的结论有（ ）
A、1个 B、2个 C、 3个 D、 4个
思路点拨 由抛物线的位臵确定a、b、c的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理。
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【例3】已知二次函数y?x2?2(m?1)x?m?1。
（1）随着m的变化，该二次函数图像的顶点p是否都在某个抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由。
（2）如果直线y?x?1经过二次函数y?x2?2(m?1)x?m?1图像的顶点p，求此时m的值。 （浙江省竞赛题）
思路点拨 对于（1），原二次函数图像的顶点p的坐标含参数m，消去m或对m赋值求出p点所在抛物线的解析式。
【例4】如图，已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)顶点为（1、1），且过原点o。过抛物线上一点p(x,y)5
作垂线，垂足为M，连接FM。 4
3（1）在直线x?1上有一点F(1,)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的
4P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
向直线y?
（2）对抛物线上任意点P，是否存在点N(1,t)，使得PM?PN恒成立？请
说明理由。
（黄冈市中考题） 思路点拨 对于（1），通过计算证明PF?PM；对于（2），由（1）知F为可能满足条件的点之一，再观察抛物线上的特殊点（顶点）便知是唯一点，以此猜想F就是所求的N点，通过数式计算证明PF?PM。
【例5】某学生为了描点作出函数y?ax?bx?c(a?0)的图像，取自变量的7个值：x1?x2?...?x7，且x2?x1?x3?x2?...?x7?x6，分别算出对应的y的值，列表如下： x
x1 x2 2x3 x4 x5 x6 x7 2
y 51 107 185 285 407 549 717
但由于粗心算错了其中一个y值，请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理由。
（“宇振杯”上海市竞赛题） 分析 设x2?x1?x3?x2?...?x7?x6?d，且xi对应的函数值为yi，计算 △k?yk?1?yk的值，并由此导出△k?1?△k为一常数，这是解本题的关键。
【例6】将抛物线c1:y1??3x2?3沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示。 （1）请直接写出抛物线c2的表达式。
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D、E。
①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值。
②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求此时m的值；若不存在，请说明理由。
（2011年江西省中考题）
分析 把相应点的坐标用m的代数式表示，由图形性质建立m的方程。因m值不确定，故解题的关键是分类讨论。
3
学力训练
基础夯实
1、将抛物线y?ax2?bx?c(a?0)向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线
y??2x2?4x?5，则原抛物线的顶点坐标是 。
（长春市中考题）
2、已知二次函数y?(x?2a)2?(a?1)(a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”。如图分别是当a??1,a?0,a?1,a?2时二次函数的图像，它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y? 。
（湖南省株洲市中考题）
3、已知二次函数
y?ax2?bx?c(a?0)，其中a、b、
9a?3b?c?0，则该二次函数图像的
c满足a?b?c?0和
对
称
轴
是
直
线 。
（辽宁省中考题）
2
4、如图，抛物线y=ax+c（a＜0）交x轴于点G，F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B，E，它们关于y轴对称，点G，B在y轴左侧，BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C，四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为 。
（长春市中考题）
5、在平面直角坐标系中，将抛物线y?x?2x?3绕着它与y轴的交点旋转180，所得抛物线的解析式是（ ）。
4
2?
A、y??(x?1)2?2 B、y??(x?1)2?4 C、y??(x?1)2?2 D、y??(x?1)2?4
（2011年桂林市中考题） 6、二次函数y?ax2?bx?c的图像如图所示，则反比例函数y?。 y?bx?c在同一坐标系中大致图像是（ ）
a
与一次函数x
A 、 B、C、D、
（2011年芜湖市中考题） 7、已知二次函数y?ax2?bx?c的图像过点A(1,2),B(3,2),C(5,7)，若点M(?2,y1)，。 N(?1,y2),K(8,y3)也在二次函数y?ax2?bx?c的图像上，则下列结论正确的是（ ）A、y1?y2?y3 B 、y2?y1?y3 C 、y3?y1?y2 D 、y1?y3?y2
（威海市中考题）
8、如图，二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），与y轴交于（0，2）点，且与x轴交点的横坐标分别为x、x，其中-2＜x＜-1，0＜x＜1，下列结论：①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③a＜-1；④b+8a＞4ac．其中正确的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
（ 福州市中考题）
9、如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C。将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1. （1）当a=-1，b=1时，求抛物线n的解析式； （2）求证：四边形AC1A1C是平行四边形；
（3）四边形AC1A1C可能是矩形吗？若能，请写出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．
（2011年江西省中考题）
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