（此点作为顶点）与对应点组成的角被轴平分，方便我们在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把线段、角转移达到解题目的．
例6 如图，等腰梯形中，，，翻折梯形，使点与点重合，折痕分别交、于点、．若，．求的长．
图（9） 图（10） 解：由题意得
根据翻折重合，得，∴ 在中，，且∴
∴，即，在等腰梯形中，AD=4，BC=10， 过作，交于，如图（10），四边形是矩形∴ 在和Rt中，， ∴ (HL)，∴∴ ∴．
说明：由角平分线构造全等三角形，这类题是很简单的，可以根
据角平分线上的点到两边的距离相等，就构造出直角三角形，进而对称轴就是公共边，就可以用HL证明全等三角形.
4．3添加辅助线构造全等三角形
在证明几何图形题目的过程中，通常需要先通过证明全等三角形来研究转移线段或角，或者两条线段或角的相等关系。但有些时候，这样要证明的全等三角形在题设中，并不是十分明显。针对这样的题型我们
需要通过添加辅助线，构造出全等三角形，进而就可以证明所需的结论.
在这里，我尝试通过几个典型例题让大家了解添加辅助线构造全等三角形的方法.当然这些例题体现了添加辅助线的方法是从简单到复杂，从特殊到一般，研究线段的长短关系是体现了从不相等到相等的递进关系[2].
注意：添加的辅助线都是用虚线表示. 4．3．1直接证明线段（角）相等
例7 如图，已知，，(1)求证：；(2)若，试猜想与的大小关系.
如图（11）
简析：第（1）小问考虑到在没有学习等腰三角形的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。本题要证明．在题目的已知条件中明显缺少全等的三角形，我们就要想到添加辅助线连结后，以作为公共边，根据题目的已知条件可以看出，进而就证明.如果在学习等腰三角形的知识后还可以连结，通过说明等边对等角，再用角的等量代换关系得到更加简单.
第（2）小问猜想，在连结证明后，得到，再证明，进而证明. 如何添加辅助线：方法1添加辅助线，连结，证明，进而.方法2添加辅助线连接，因为，所以，．即，?ABD??CBD??ADB??CDB，即.又因为，,故，进而.
小结：通过例7我们初步体会添加辅助线的必要性，例7的两个小问的简析，从添加辅助线证明一次全等三角形得角相等，然后到添加辅助线证明二次全等三角形得线段相等，我们可以感觉到问题层次的递进.
特别是例7(1)中如果B、C、D共线的时候可以得到等边对等角的结论，为第（2）问做铺垫.
4．3．2转移线段到一个三角形中证明线段相等
例8 如图，已知是的中线，且交于点，交于点，且.求证：.
图（12）
简析：要证，我们可以把线段、转移到它们所在的三角形中，然后证明这两个三角形全等，显然图中没有直观的给出含有、的两个全等三角形图形，但我们可以根据题目条件的去构造两个含有、的全等三角形也并不是太容易，这时我们就要重新思考一条出路，想到在同一个三角形中等角对等边，这时能够把两条线段转移到同一个三角形中，我们只要说明转移在同一个三角形后的这两条线段所对的角相等就可以了.
简析：思路1 以为基础三角形，来转移线段、，使这两条线段在中.法一：延长到，使，连结，再证明和全等，可得.通过证明，就可得到.
图（13）
证明：添加辅助线延长到，使，连结 ∵是中点 ∴ 在△和中
∴ (SAS) ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴
∴
法二：可以过点作平行与的延长线相交于点，证明和全等.
小结：对于含有中线的全等三角形问题，可以通过“倍长中线”法得到两个全等三角形.但是过一点作己知直线的平行线，可起到转移角的作用，也起到构造全等三角形的作用.
思路2 以为基础三角形，转移线段，使、在两个全等三角形中. 法三：添加辅助线延长至，使，然后连结，证明和全等.
图（14）
证明：延长至，使，连结 ∵是中点 ∴ 在和中 ∴ (SAS) ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴
法四：过点作平行与的延长线相交于点，证明△和△全等.
小结：通过添加辅助线的方法一题多解，我们可以体会到添加辅助线目的在于构造全等三角形.而从不同途径来可以有不同的添加方法，实际是实现线段的转移体会构造全等三角形在线段转移中的地位.从变换的观念可以看到，不论是作平行线法还是倍长中线法，实质都是一个以
中点为旋转中心的三角形旋转变换构造了全等.
熟悉法一、法三“倍长中线”法的辅助线所用到的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本添加辅助线方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段的证明全等三角形的方法有技巧可寻.
图（15）
4．3．3转移线段到一个三角形中证明线段不等关系
例9如图，已知是的中线，求证：.
简析：用例8的辅助线的添加方法，学会识别基本图形，并利用它们去解决不等关系的问题.、、不在同一个三角形中，如果能将中线倍长，转移就可在同一个三角形找出与、、相关的线段，再利用三角形两边之和大于第三边可以很简单的解决。
图（16）
证明：添加辅助线延长至，使，连接． ∵是的中线， 在和中， ∵ ∴（SAS） ∴ 在中，, ∴.