第4章 第3节
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题7分，共42分)
1. 已知两个单位向量a与b的夹角为135°，则|a＋λb|>1的充要条件是( ) A. λ∈(0，2) B. λ∈(－2，0)
C. λ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞) D. λ∈(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案：D
解析：由|a＋λb|>1，得a2＋2λa·b＋λ2b2>1， 化简得λ2－2λ>0， 解得λ<0或λ>2，故选D.
12. [2012·潍坊模考]已知非零向量a·b满足|a|＝3|b|，若函数f(x)＝x3＋|a|x2＋2a·bx＋1
3在x∈R上有极值，则〈a，b〉的取值范围是( )
π
A. [0，]
6ππC. (，]
62答案：D
1
解析：∵f(x)＝x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，∴f′(x)＝0有不相等的实根．∵
3f′(x)＝x2＋2|a|x＋2a·b，∴x2＋2|a|x＋2a·b＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a|2－8a·b>0，即12
|a|
12a·b23a·b<|a|，∵cos〈a，b〉＝，|a|＝3|b|，∴cos〈a，b〉<＝，∵0≤〈a，b〉≤π，
2|a||b||a||b|2π
∴<〈a，b〉≤π，故选D. 6
3. [2012·湖北联考]已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a·b＝0，若向量c与a－b共线，则|a＋c|的最小值为( )
A. C.
2 2 2
B. 1 1D. 2π
B. (0，]
3π
D. (，π]
6
答案：A
解析：∵c与a－b共线，设c＝λ(a－b)＝λa－λb(λ≠0)，则|a＋c|＝|a＋λa－λb|＝|(1＋λ)a
1222222
－λb|，∴|a＋c|＝(1＋λ)|a|－2λ(1＋λ)a·b＋λ|b|＝4(2λ＋2λ＋1)，当λ＝－时，|a＋c|的最
2小值是2. 4. 已知平面向量a，b，c满足：a⊥c，b·c＝－2，|c|＝2，若存在实数λ使得c＝a＋λb，则λ的值为( )
A. －4 C. 2 答案：B
解析：由已知a⊥c得a·c＝0，又c·c＝(a＋λb)·c，即|c|2＝a·c＋λb·c.又|c|＝2，a·c＝0，b·c＝－2，所以－2λ＝4，即λ＝－2.
→→→5. 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，若O为△ABC内部的一点，且满足OA＋OB＋OC＝→→0，则AO·BC＝( )
1
A.
21C. 3答案：C
→→→→→
21
解析：由题意知O为△ABC的重心，取BC的中点D，∴AO＝AD＝(AB＋AC)，BC＝
33→→→→→→→→→→
111
AC－AB，∴AO·BC＝(AB＋AC)(AC－AB)＝(AC2－AB2)＝.
333
6. [2011·福建]设V是全体平面向量构成的集合．若映射f：V→R满足： 对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有 f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)， 则称映射f具有性质P. 现给出如下映射：
①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V； ②f2：V→R，f2(m)＝x＋y，m＝(x，y)∈V； ③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.
其中，具有性质P的映射的序号为__________．(写出所有具有性质P的映射的序号) 答案：①③
解析：由题意知λa＋(1－λ)b＝λ(x1，y1)＋(1－λ)(x2，y2)＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)，对于①：
f1(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2－λy1－(1－λ)y2，而λf1(a)＋(1－λ)f1(b)＝λ(x1－y1)＋(1－
2
B. －2 D. 4
2
B. 51D. 4
λ)(x2－y2)＝λx1＋(1－λ)x2－λy1－(1－λ)y2，∴f1(λa＋(1－λ)b)＝λf1(a)＋(1－λ)f1(b)，故①中映射具有性质P；对于②：f2(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]＋λy1＋(1－λ)y2，而λf2(a)＋(1－λ)f2(b)
222＝λ(x21＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1－λ)y2，∴f2(λa＋(1－λ)b)≠λf2(a)＋(1－
2
λ)f2(b)，故②中映射不具有性质P；对于③：f3(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1－λ)y2＋1，而λf3(a)＋(1－λ)f3(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1－λ)y2＋1.∴f3(λa＋(1－λ)b)＝λf3(a)＋(1－λ)f3(b)，故③中映射具有性质P，综上可知具有性质P的映射的序号为①③.
二、填空题(每小题7分，共21分)
7.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________．
5
答案：(－，0)∪(0，＋∞)
3
解析：∵a与a＋λb均不是零向量，且其夹角为锐角，∴a·(a＋λb)>0，即5＋3λ>0，∴λ>5
－.当a与a＋λb共线时，可设a＋λb＝ma(m∈R)，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)， 3
??1＋λ＝m∴?，解得λ＝0，即当λ＝0时，a与a＋λb共线，∴λ≠0. ?2＋λ＝2m?
5
∴λ的取值范围为(－，0)∪(0，＋∞)．
3
→→→→
8. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AB·AC＝BA·BC＝1，那么c＝________.
答案：2 →→→→→→→→→→→→解析：由题意知AB·AC＋BA·BC＝2，即AB·AC－AB·BC＝AB·(AC＋CB)＝(AB)2＝2?c＝→
|AB|＝2.
→→→→→→9. [2011·湖南]在边长为1的正三角形ABC中，设BC＝2BD，CA＝3CE，则AD·BE＝__________.
1答案：－ 4
解析：如图，由题意得D为BC中点，E为AC三等分点，
→→→→→→
1
∴AD·BE＝(AB＋AC)·(AE－AB)
2→→→→112＝(AB＋AC)·(AC－AB) 223
→→→→→→121211＝－AB＋AC＋AB·AC－AB·AC
2332→→→→12121＝－AB＋AC－AB·AC
236111131＝－＋－×＝－＝－. 2362124
三、解答题(10、11题12分、12题13分)
10. 已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)． (1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝5
，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 2
解：(1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝25可得
???y－2·x＝0?1·?x＝2?x＝－2?2?，∴或?， 2
?x＋y＝20????y＝4?y＝－4
∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2|a|2＋3a·b－55a·b2|b|2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，∴a·b＝－，∴cosθ＝＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.
42|a||b|
→→→
11．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)． (1)若A，B，C三点共线，求实数m的值； (2)若∠ABC为锐角，求实数m的取值范围．
→→→
解：(1)∵向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)， →→
1
∴AB＝(3,1)，AC＝(2－m,1－m)，由三点共线知3(1－m)＝2－m，解得m＝.
2→→
(2)由题设知BA＝(－3，－1)，BC＝(－1－m，－m)， →→
3
∵∠ABC为锐角，∴BA·BC＝3＋3m＋m>0，解得m>－. 4
1311
又由(1)可知，当m＝时，∠ABC＝0°，故m∈(－，)∪(，＋∞)．
2422
12. 已知函数f(x)＝a·b－1，其中a＝(3sin2x，cosx)，b＝(1,2cosx)(x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝2，a＝3，b＝3，求边长c的值．
π解：(1)依题意得f(x)＝a·b－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，
6
πππ
∴函数f(x)的最小正周期T＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得函数f(x)的单调
262ππ
递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
36
πππ
(2)∵f(A)＝2，∴2sin(2A＋)＝2，即sin(2A＋)＝1，∴A＝kπ＋，k∈Z.又∵A为三角形的
666π
内角，∴A＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即c2－33c＋6＝0，∴c＝3或23.
6