二、选择题
1、函数y?f(x)在点x0处有定义是x?x0存在的（ ） (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)无关条件 2，当x?0 时,下列函数为无穷小的是（ ）
sinx1 (B) x2?sinx (C) sin(1?x) (D) 2x?1xx
sin(x?3)lim2?x?3x?93、极限（ ） (A) 11(A) 0 (B) 6 (C) 1 (D) 3
alim(1?)bx?d?x4，n??（ ）
limf(x)(A) e (B) e (C) e (D) e1xbabab?d
5、f(x)?3,在x?0处（ ） (A) 有意义 (B) 极限存在 (C) 左极限存在 (D) 右极限存在
)成立. 6、函数f?x?在点x0处连续,则( (A) f(x) 在点 x0 处有意义且有极限 (B)f(x)在点x0处有意义而无极限(C) f(x)在点x0处有极限而无定义 (D) f(x)在点x0处既无定义又无极限
三、是非判断题
sinx1lim?limlimsinx?0x??xx??1、x??x。 （ ） 2、无限个无穷小之和为无穷小。 （ ） 3、若x?x0时f?x?的极限不存在，则f?x?必是无穷大量。 （ ） 4、初等函数在其定义域内是连续的。 （ ）
,则f(x)?g(x)极限也不存在。5、设x?x0时,f?x?与g(x)极限均不存在（ ）
2。 （ ） 6、x??四、简答题求下列极限
sin2xx?sin2xlnxx4?2x2?3(1)lim(2)lim2(3)lim(4)limx?0x?1x?3x?2x?0x?sin2xn?1x?1x?1?1
limarctanx???2x?1?(5)lim??x??2x?1??n???xx?0
(8)limn2n?4n?6n???20n(6)limx?ln(x?1)?lnx?
(7)lim(n(n?2)?n2?1)n??
五、解答题 1、求函数
f(x)?tanxx的间断点，并判断其类型。
??cosx, x?0f(x)???x?2?a?a?x 2、设
??x, x?0，a?0，
（1）当a取何值时，x?0是f(x)的连续点， （2）当a取何值时，x?0是f(x)的是间断点， （3）当a?2时，求函数f(x)的连续区间。
3、设f(x)在x?2处连续，且f(2)?3,limf(x)?14?求x?2??x?2?x2?4??。
4、
已知 x5?ax2?x?1?0在 ?-1,1?内至少有一个实根,求 a的取值范围。
极限与连续单元测试（C）
一，填充题
1、设f(x?1)?x2?2x?1,则 limx?0f(x)?_________。
2、设当x?0 时,1?ax2 -1与x2为等价无穷小,则 a?_________。
3、xlim??(x??)cos21x???_________。
24、
若limxx?0(1?ax)?e2, 则 a?_________。
?a?bx2, f?x??? x?0?sinbx5、函数??2x, x?0 ,在x?0处连续，则a与b的关系为_________。y?x6、函数sinx的间断点是_________________
二、选择题
?ex?1设f(x)???, x?01、?x ,则limf(x)?0, x?0x?0?（ ）
(A ) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 2
2，当x?0 时,下列函数为无穷小的是（ ）
x-?1?1?xcosx?cos3xx2(A) sinx (B) sinx (C) x2 (D) sinx sina3、极限xlim(x?2)??2x?2?12,则 a?（ ）
(A ) 2 (B) 12 (C) 0 (D) 不存在
4设f(x)?1?cos2xx2,当x?0时,F(x)?f(x),若F(x)在x?0处连续,则F(0)等于( (A ) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2
)
、
sinx具有第二类间断点的个数为5x?x5、（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 三、判断题
设f(x)?1、x?0lime???x?x01x。 （ ）
x?x02、若存在与，且
, 则极限值必等于f(x0)。 （ ） 3、f(x)在x0如果有极限limf(x)limg(x)limf(x)?limg(x)f(x)?g(x)，则x?x0x?x0（ ）。
tanx?sinxx?x?lim?lim0?02x?0x?0x3x?0xsinx4、。 （ ）
四、求下列极限
lim?1?x?lnx?lna(1)lim??(2)limx?01?xx?a???x?a1?xsinx?1(5)lim2x?0ex?1
五、解答题
1x?(3)lim?1?x????1??n?n???(4)lim?x??tanx?2?x??2
1??1??1??lim?1?2??1?2???1?2?1、求n???2??3??n?
?111?lim??????x???1?22?3n(n?1)?2、求 xxx??lim?cosx?cos?cos2???cosn?222? 3、求n????111lim?????n???2n2?2?n2?n?4、求?n??????
5、设f(x)为三次整式，且x??1?x2?ax?b,x?1?f(x)??1?x,?x2?1, x?1?limf(x)f(x)f(x)3?6,lim??limx?2x?2x?12求x?3x?3。
6、设若x?1limf(x)存在，求a,b的值。
7、试判定方程(x?1)(x?2)?(x?2)(x?3)?(x?3)(x?1)?0有几个实根，分别在什么范
围内？
极限与连续单元测试（A）答案
一、填空题
1. 1,? 2. 1,e 3. 3 4. 0,3,
27 5. x?1,一 6. x?2 7. (??,?2???3,??)4
二、选择题
1. A 2. D 3. A 4. A 5. B 6. C 三、判断题
1. × 2. √ 3.× 4. × 四、简答题
sinx?cosx1?lim(sinx?cosx)?0x??xx（1）x??
lim2（2）x?1x?4x?3limx2?3x?2?lim(x?1)(x?2)x?21?lim?x?1(x?1)(x?3)x?1x?32
sin2x1sin2x4x1sin2x4x1?lim???lim?lim?（3）x?0sin4xx?022xsin4x2x?02xx?0sin4x2
limex?e?x?2ex?1e?x?1x?x11lim?lim?lim?lim?lim???0x?0x?03xx?0x?03xx?03x3x3x33（4）
(2x)21?cos2x2x2x2lim?lim?lim?2lim?2x?0x?0x?0x?0xsinxxsinxxsinxsinx（5）
12?(4?2x?x2)(x?4)(2?x)11lim(?)?lim?lim?x?28?x3x?2x?2(2?x)(4?2x?x2)2?x28?x3（6）
12
n(1?n)1?2??nn2?n12lim?lim?lim?222（7）n???n?3nn???n?3nn???2n?6n2
xx1kxkk?k?kk?1kk?lim(1?)?lim(1?)??lim(1?)??e?e,即e?e2,?k?x???x???x???xxx?2?2、 五、解答题
k1、因为
f(0)?limf(x)?lim??x?0x?0?1ex?0,f(0?)?limf(x)?limxsin??x?0x?01?0x，又有f(0)?0，
??即有f(0)?f(0)?f(0)?0，故f(x)在点x?0处连续。 2、证明：
lim因为
x?04?x?29?x?3?limx?0(4?x?2)(4?x?2)(9?x?3)(9?x?3)(9?x?3)(4?x?2) ?limx?09?x?34?x?2?32
所以当x?0时，4?x?2与9?x?3是同阶无穷小。
53、设f(x)?x?4x?3，因为f(x)在(??,??)内连续，故f(x)在?0,1?上也连续，
而f(0)??3?0,f(1)?2?0，所以由根的存在定理知，至少有一个???0,1?，使f(?)?0，
5即方程x?4x?3?0在0与此1之间至少有一个根。
4、因为，
并且函数中的分母为一次多项式，则变形后的分子只能为零次多项式， 则必有1?a?0,a?b?0，解得a??1,b?1。
极限与连续单元测试（B）答案
?(1?a)x2?(a?b)x?b?1?x2?1lim(?ax?b)?lim???0x??x?1x???x?1???
一、填空题 121. 2. ,ln2 3. ?2 4. 可去间断点 5. 2 6. 24? 二、选择题 1. D 2. B 3. B 4. C 5. C 6. A 三、判断题 1.× 2.× 3.× 4.× 5.× 6.× 四、简答题 （1）x?0x?1?1x4?2x2?3limsin2x?limsin2x?(x?1?1)?4x?0x
(x2?3)(x?1)(x?1)(x2?3)(x?1)lim2?lim?lim??8x?1x?3x?2x?1x?1(x?2)(x?1)x?2（2）
sin2x1?x?sin2xx??3lim?limx?0x?sin2xx?0sin2x1?x（3）
（4）因为当x?1时，ln?1?(x?1)?等价于x?1，
ln?1?(x?1)?lnxx?1?lim?lim?1n?1x?1x?1x?1x?1x?1所以
limxx?2?2??2x?1???lim???lim?1???lim??1??x??2x?1x??x???2x?12x?1???????（5）
2x?12????2x2x?1?e
xx?1?1??1?limx?ln(x?1)?lnx??limxln?limxln?1???limln?1???lne?1x?0x?0x?x?x?0?x?（6）x?0
n??lim(n(n?2)?n?1)?limn??2(n2?2n?n2?1)(n2?2n?n2?1)n?2n?n?122 （7）
?limn??
2n?1n?2n?n?122?1
nnnnnn（8）、因为2?4???20?20?20
2n?4n???20n?10?20n?n10?20?20(n???)
nn所以由夹逼定理n???五、解答题 1、因为f(x)在x?0及所以
x?0,x?k??limn2n?4n?6n???20n?20
x?k???2(k?0,?1,?2,?)处无定义，
?2(k?0,?1,?2,?)是间断点，
limtanx?1f(x)x?0xx?0又因为在处无定义，且，所以x?0是可去间断点；
lim又因为
2、
x?k???2tanx??(k?0,?1,?2,?)x所以
x?k???2(k?0,?1,?2,?)是第二类间断点。