【题型综述】
点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆
心到点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知AB是圆的直径，G是平面内一点，则GA?GB?0?点G在圆内；GA?GB?0?点G在圆外；
GA?GB?0?点G在圆上．③方程法，已知圆的方程M:(x?a)2?(y?b)2?r2，点N(x0,y0)，则
(x0?a)2?(y0?b)2?r2?点N在圆M内；(x0?a)2?(y0?b)2?r2?点N在圆M上；(x0?a)2?(y0?b)2?r2?点N在圆M外.
四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中
三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.
【典例指引】
类型一 向量法判定点与圆的位置关系
x2y22例1 【2015高考福建，理18】已知椭圆E：2+2=1(a>b>0)过点(0,2），且离心率为．
ab2(Ⅰ)求椭圆E的方程； (Ⅱ)设直线x=my-1，(m?R)交椭圆E于A，B两点，
判断点G(-,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
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94【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得
ìb=2,?ìa=2??2??c=,解得íb=2， í2??a??a2=b2+c2,?c=2??x2y2+=1． 所以椭圆E的方程为
42(Ⅱ)设点A(x1y1),B(x2,y2),AB中点为H(x0,y0)．
ìx=my-1?由íx2y2得(m2+2)y2-2my-3=0, ?+=1??422m32,yy=，y=从而. 120m2+2m2+2m2+2925252522222所以GH|=(x0+)+y0=(my0+)+y0=(m+1)y0+my0+.
44216所以y1+y2=|AB|2(x1-x2)2+(y1-y2)2(m2+1)(y1-y2)2== 444(m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]=(m2+1)(y02-y1y2), =4|AB|25255m23(m2+1)2517m2+22故|GH|-=my0+(m+1)y1y2+=-+=>0 22242162(m+2)m+21616(m+2)2所以|GH|>|AB|9，故G(-,0)在以AB为直径的圆外． 24 2
所以cos狁GA,GB>0,又GA，GB不共线，所以DAGB为锐角. 故点G(-,0)在以AB为直径的圆外． 类型二 四点共圆应用问题
例2. （2014全国大纲21）已知抛物线C：y?2px(p?0)的焦点为F，直线y?4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|?（I）求C的方程；
（II）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l?与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.
2945|PQ|. 4 3
类型三 动圆过定点问题
例3(2012福建理19)右焦点为F2，离心率e?x2y2如图，椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F1，
ab1。过F1的直线交椭圆于A,B两点，且?ABF2的周长为8。 2（Ⅰ）求椭圆E的方程。
（Ⅱ）设动直线l:y?kx?m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x?4相交于点Q。试探究： 在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；
若不存在，说明理由。
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?y?kx?m?222 （法2）由?x2y2得(4k?3)x?8kmx?4m?12?0，
?1??3?4∵动直线l与椭圆E有且只要一个交点P(x0,y0)，∴m?0且△=0，
即64km?4(4k?3)(4m?12)?0，化简得4k?m?3?0, ① 此时x0=?由?2222224km4k34k3P??=，==，∴(,), kx?my0024k?3mmmm?x?4得Q(4，4k?m).
y?kx?m?假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上, 设M(x1,0)，则MP?MQ=0对满足①式的m，k恒成立.
4k3－x1,),MQ=(4－x1，4k?m)， mm4k3k?x1)(4?x1)??(4k?m)=0，整理得(4x1?4)?x12?4x1?3?0， ② ∴?(mmm∵MP=(?
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