∴??4x1?4?0?x?4x1?3?021，解得x1=1，
∴存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
4k3－1,),MQ=(3，4k?m)， mm12k12k?3??3=0， ∴MP?MQ=?mm∵MP=(?∴恒有MP?MQ， ∴存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M. 类型四 证明四点共圆
y2?1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C例4. 已知O为坐标原点，F为椭圆C:x?22交与A、B两点，点P满足OA?OB?OP?0. (Ⅰ)证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
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【扩展链接】
1.O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.（1）
111122
???;（2）|OP|+|OQ|
|OP|2|OQ|2a2b24a2b2a2b2的最大值为2;（3）S?OPQ的最小值是2.
a?b2a?b2x2y22.若椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，半焦距为c，焦点F1??c,0?,F2?c,0?，设
ab过F1的直线l 的倾斜角为?，交椭圆于A、B两点，则有：①
b2b2２ab2AF1?,BF1? ；②AB?２２２
a?ccos?a?ccos?a?ccos?x2y2若椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，半焦距为c，焦点F1??c,0?,F2?c,0?，设
ab过F２的直线l 的倾斜角为?，交椭圆于A、B两点，则有：①
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b2b22ab2AF,BF ；②AB?２２２ ２?２?a＋ccos?a－ccos?a?ccos?2ab2同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为AB?２２２（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）
a?csin??2ab2?焦点在x轴上???a２?c２cos２?结论：椭圆过焦点弦长公式：AB??
22ab?焦点在y轴上??２２２??a?csin?3.设AB为过抛物线y?2px(p?0)焦点的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，直线AB的倾斜角为?，则
2p2,y1y2??p2; ①.x1x2?4pppp?,BF?x2?? 21?cos?21?cos?2p; ③.AB?x1?x2?p?2sin?②.AF?x1?④.
112??； |FA||FB|P32p； 4⑤.OA?OB??⑥.S?AOB11p2?OAOBsin?AOB??OF?hF?； 222sin?【同步训练】
1． 已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离
为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
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【思路点拨】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．
（2）假设存在这样的值．，得（1+3k）x+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系
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进行求解．
（2）假设存在这样的值．
，
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得（1+3k）x+12kx+9=0，
∴△=（12k）﹣36（1+3k）＞0…①， 设C（x1，y1），D（x2，y2），
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则
而y1?y2=（kx1+2）（kx2+2）=kx1x2+2k（x1+x2）+4， 要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0）， 当且仅当CE⊥DE时， 则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，
∴（k+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③
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