第1章 质点运动学和牛顿运动定律
思考题
1-1 在牛顿力学中，位矢、位移、速度和加速度与参考系的选取有什么关系？ 答：位矢、位移、速度和加速度与参考系的选取无关，它们都是在首先选定参考系后，再选择一定的坐标系，对物体的运动进行描述，它们的数值与参考系无关．
1-2 某质点沿半径为R的圆周运动一周,它的位移和路程分别为多少？质点的位移和路程的区别是什么？什么情况下位移的大小与路程相等？
答： 沿圆周运动一周的位移是0，路程是圆的周长．
位移表示质点在一段时间内位置变动的总效果，是矢量．一般来说，位移不表示质点在其轨迹上所经历的长度．路程是质点在其轨迹上经过的路径的总长，是标量．只有质点作同一方向的直线运动时，位移的大小才等于路程．
1-3 作直线运动的物体的位移的大小和路程相等吗？
答： 直线运动的物体的运动方向不变时，位移的大小与路程相等．如果方向改变，则位移的大小要小于路程．
1-4有人说“速率等于速度的大小,则平均速率也等于平均速度的大小”,你觉得这种说法对么？为什么？
答：这种说法不对．平均速率是路程与时间的比值，而平均速度是位移与时间的比值，一段时间内的位移的大小一般不等于路程．因此，一般情况下，平均速率不等于平均速度的大小．
1-5已知质点的运动学方程为r?x(t)i?y(t)j?z(t)k,在求质点运动的速度和加速度的大小时,有人先求出位矢的大小r?x?y?z,再利用??222drdt和a?d?dt?drdt22求得
结果．你认为这种计算方法正确么？你觉得应该如何计算？
答：不对．首先根据定义分别计算速度和加速度的值，再取其矢量的大小表示相应的速度和加速度的大小．
1-6 一个人站在地面上瞄准树上挂着的小球，在小球开始下落的瞬间，扣动扳机，试说明子弹能否击中小球．
答：在忽略空气的阻力情况下，子弹能击中小球．子弹的运动可以看作沿初速度的运动和竖直方向的自由落体运动的叠加．小球下落后的运动是一个以g为加速度的自由落体运动．当子弹与小球的水平位置重合时，它们参与的竖直方向的运动完全相同，即子弹击中小球．
1-7 杂技表演中，演员可以骑着自行车在竖直的圆形墙壁上运动，为什么不会掉下来？
1
答：作圆周运动的演员和自行车需要向心力，自行车需要的向心力只能由竖直墙壁提供．根据牛顿第三定律，此时车对墙壁产生一个大小相等的压力．由于车与墙壁之间存在摩擦力，当车速足够大时，需要的向心力也增大．当摩擦力与重力平衡时，车与运动员就不会掉下来．
1-8 火车车头对车厢的相互作用力大小相等，方向相反，为什么启动时是火车拉着车厢向前？
答：决定物体运动的是这个物体所受的合外力．对车头而言，在水平方向所受的力是地面对它向前的摩擦力和车厢对它施加的向后的拉力．火车头所以向前启动是因为向前的摩擦力大于向后的拉力．同样分析车厢，得到同样的结果．当然也可以将车头和车厢作为整体看待，此时其受的水平方向的外力只有地面对车头向前的摩擦力和及对车厢向后的摩擦力，当向前的摩擦力大于向后的摩擦力时，就会产生向前的加速度．而车头和车厢之间的相互作用力称为内力，对整体的运动没有影响．
1-9 悬浮的气球下面带有吊篮，人开始在吊篮里，且气球和人都保持静止，后来人开始沿着吊绳向上爬，问气球是否运动？
答：气球会向下运动．可以将人和气球看作一个整体研究对象，由题目条件可知，其受合外力为零，因此整体的运动状态应该保持不变．人向上运动，为了保持整体的重心不变，气球会向下运动．
1-10牛顿运动定律中使用隔离体法进行受力分析，有时需要作整体分析，分析一下这两种研究对象的选取各在什么情况下有利于问题的解决．
答：当整体的加速度相同时，一般做整体分析，如果各部分的加速度不一样，必须用隔离体方法；如果要计算的结果涉及物体之间的相互作用，也需要作隔离体受力分析．
1-11 受力分析过程中如何做到不漏力，也不虚构力？
答：首先确定重力，再找研究对象与外界的接触，有一个接触面（点）就可能存在弹力和摩擦力，这样就不会漏力．一个真实的力必须有施力物体，找不到受力物体的力则是虚构的力．
1-12水平路面上的火车车厢内有一光滑桌面，在上面放置一个小球，当火车速率增加时，路面上的观察者和车厢内的观察者看到小球的运动状态发生什么改变？
答：路面上的观察者以地面为参考系，看到小球在水平方向没有受到力的作用，因此相对于地面的位置不变，保持原来的运动状态；车厢内的观察者以车厢为参考系，此时车厢由于加速运动，不再是惯性系，他会看到小球向后运动．
习题
1-1 已知质点的运动学方程为x = R cosωt , y = R sinωt, z = hω/(2t),其中R、ω、h为常
2
量．求：
（1）质点的运动方程的矢量形式； （2）任一时刻质点的速度和加速度． 解：r?Rcos?ti?Rsin?tj?h?/(2t)k υ?drdtdυdt???Rsin?ti?R?cos?tj?h?/(4t)k
2222a???Rcos?ti?R?sin?tj?h?/4tk
1-2 站台上的人在火车开动时站在第一节车厢的最前面．火车开动后经过24 s第一节车厢的末尾从此人的面前通过．问第5节车厢驶过他面前需要多长时间？
解：以火车开动时为计时起点，设火车一节车厢长度为l，加速度为a 则第一节车厢经过观察者时：l?12at2?121212?24a?288a （1）
2第四节车厢的末尾经过观察者时：4l?at4 （2） at5 （3）
22第五节车厢的末尾经过观察者时：5l?联立（1）（2）（3）得： t?t5?t4?63.7?48?15.7s
1-4 一个弹性球竖直落在一个斜面上，下落高度为h = 20cm，斜面的水平倾角为θ = 30°，求其第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远（设碰撞为完全弹性碰撞）．
解：竖直方向取向下为正方向，建立如图坐标系，第一次碰撞前，???y?第一次碰撞后，速度大小不变，方向与原来成60°角
2gh
?x1??ycos30???2ghcos30
???y1???ysin30??2ghsin30
x??x1t?y??y1t?12?x 2ghcos30t (1)
gt2???2ghsin30t??12gt (2)
2y x?ytan30 (3)
由（1）、（2）、（3）联立解得：x?23h， y?2h， s?ysin30??4h?0.8m
1-6 质量为3 kg的质点，其运动学方程为
3
22r?(5?2t?t)i?(2t?3)j
求该质点受力的大小和方向．
解：a?drdt22??2i?4j，
a?(?2)?422?20?4.7(m/s)
2F?ma??6i?12j， F?ma?14.1N
tan???2 ， ???arctan2
1-8 如图1-19所示，抛物线形弯管的表面光滑，绕竖直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y = a x2，a为正常数，小环套在弯管上．试问：
（1）弯管角速度多大，小环可以在管上任意位置相对弯管静止？ （2）若为圆形光滑弯管，情况如何？
图1-19 习题1-8用图
解：（1）建立坐标系如图，抛物线的切线斜率为
12axdydx?2ax，
则其垂直线的斜率为k?tan??静止时有
Fsin??mg （2） Fcos??m?x （3）
2 （1）
F y
θ x 由（1）、（2）、（3）得??2ag
（2）如果是光滑圆管，以圆心为坐标原点，圆方程
x?y22?R
2则圆环所在处的斜率
dydx??xymg
4
tan??yx（4）
Fsin??mg（5） Fcos??m?x（6）
2由（4）、（5）、（6）得 ??gy
当y?0时，小环可以相对弯管静止，但不同的位置静止时的角速度不同； 当y?0时，小环不可能相对弯管静止．
1-9 小车以匀加速度a沿倾角为α的斜面向下运动，摆锤相对于小车保持静止，求悬线与竖直方向的夹角．
解：以小球为研究对象，地面为参考系，建立如图所示坐标系， 则有：
T?(ma)?(mg)?2mgmacos??ma?g2222?2gacos?
所以
sin?ma?g22?sin?ma
T y θ ma
α
?2gacos?所以
sin??asin?a?g22
?2gacos?asin?x α
mg T
θ mg
??arcsina?g22?2gacos?1-10 如图1-20所示，质量为m的环套在绳上，环相对绳以加速度a下落，求环与绳间的摩擦力．
图1-20 习题1-10用图
分析：环受在竖直方向受重力和摩擦力，故有
mg?f?ma ，f?m(g?a)
1-11 如图1-21所示，电梯内水平桌面上有一个20 kg的物体A，它用轻绳经过一质量可以略去不计的滑轮后，挂一个5 kg的物体B，A与桌面的滑动摩擦系数为0．2．如果电
5
梯以a = g的加速度向上运动，求A的加速度和绳子的张力（取g = 10 m/s2）．
解：以电梯为参考系，物体B为研究对象，则受力为张力和重力和惯性力
2mBg?T?mBaB（1）
对物体A，水平方向受力为摩擦力和绳的张力，有
T?2?mAg?mAaAx（2）
由于
aAx?aB（3）
由（1）（2）（3）得
amB?2?mAAx?2mg?10?8B?mA5?20?10?7.2(m/s2)
T?(aAx?2?g)mA?224(N)
a22A?a?aAx?100?7.22?12.3(m/s2)
与竖直方向夹角：
??arctan0.72
g A B 图1-21 习题1-11用图
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