7.物以类聚──话说同类项
知识纵横
俗话说“物以类聚，人以群分”。在数学中，我们把整式中那些含相同的字母、并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类──称为同类项(like term)?，一个多项式中的同类项可以合聚在一起──称为合并同类项(unite like term)?。整式的加减实质就是去括号合并同类项。
整式的加减这一章涉及到许多概念，准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点： 理解“三式”和“四数”的概念、熟悉“两种排列”、掌握三个法则。
解与整式加减相关问题时，有括号先去括号，有同类项先合并同类项，这样能使解题过程大为简化。
例题求解
【例1】当x的取值范围为_______时,式子-4x+│4-7x│-│1-3x│+4?的值恒为一个常数,这个值是_________. (北京市“迎春杯”竞赛题)
思路点拨 去掉绝对值符号、合并同类项后，式子应不再含“x”的项，?由此得出x的取值范围。
解:x≥
4. 7ba(a+1)+(b+1)得( ). ab提示:x的系数之和为零,须使4-7x≤0且1-3x≤0 【例2】已知a+b=0,a≠b,则化简
A.2a B.2b C.+2 D.-2
(第15届江苏省竞赛题) 思路点拨 由已知条件可推得多个关系式,这是解本例的关键.
ba==-1,-a-b=0. ab11 【例3】已知x=2,y=-4时,代数式ax3+by+5=1997,求当x=-4,y=-时,代数式
22 解:选D.提示:由已知得
3ax-24by3+4986的值.
思路点拨 一般的想法是先求出a、b的值,这是不可能的(为什么?)解本例的关键是:将给定的x、y值分别代入对应的代数式,寻找已知式与待求式之间的联系,?整体代入求值. 解:1998 提示:由已知得4a-b=996,待求式=-3(4a-b)+4986.
【例4】已知关于x的二次多项式a(x3-x2+3x)+b(2x2+x)+x3-5,当x=2时的值为-17,?求当x=-2时,该多项式的值. (“希望杯”邀请赛培训题)
思路点拨 设法求出a、b的值,解题的突破口是根据多项式降幂排列、?多项式次数等概念挖掘隐含的关于a、b的等式.
- 1 -
解:-1 提示:整理原多项式得(a+1)x3+(2b-a)x2+(b+3a)x-5,由题意得a+1=0,?得a=-1,b=-1.
【例5】(1)已知:5│(x+9y)(x,y为整数),求证:5│(8x+7y).
(2)试证:每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和.
思路点拨:(1)尝试把8x+7y写成x+9y的倍数与5的倍数的代数和的形式,(2)逆用整式的加减,将每一类自然数表示为两个式子的和,并证明它们互质,注意分类讨论. 解:(1)8x+7y=8(x+9y)-65y.
(2)①若n为奇数,设n=2k+1,k为大于2的整数,则n=k+(k+1),
由于显然(k,k+?1)=1,故此表示合乎要求.
②若n为偶数,则可设n=4k或n=4k+2,k为大于1的自然数.
当n=4k时,可写n=(2k-1)+(2k+1),并且易知2k-1与2k+1互质,因为,若它们有公因子d≥2,则d│2,但2k-1?与2k+1均为奇数,此不可能.
当n=4k+2时,则可写n=(2k-1)+(2k+3),且易知2k-1与2k+?3互质,因为,若它们有公因子d≥2,设2k-1=nd,2k+3=md,m、n均为自然数,则得(m-?n)d=4,可见d│4,矛盾.
学力训练
一、基础夯实：
1.已知2axbn-1与-3a2b2m是同类项,那么(2m-n)x=__________.
(第12届江苏省竞赛题) 2.已知代数式(2x2+ax-y+6)-(2bx2-3x+5y-1).
(1)当a=_______,b=________时,此代数式的值与字母x的取值无关; (2)在(1)的条件下,多项式3(a2-2ab-b2)-(4a2+ab+b2)的值为__________. 3.已知a=1999,则│3a3-2a2+4a-1│-│3a3-3a2+3a-2001│=_________.
4.已知当x=-2时,代数式ax+bx+1的值为6,那么当x=2时,代数式ax3+bx+1?的值是_______.
5.火车站和机场都为旅客提供打包服务,如果长、宽、高分别为x、y、z的箱子按如图的方式打包,则打包带的长至少为( ). A.4x+4y+10z B.x+2y+3z
C.2x+4y+6z D.6x+8y+6z (2003年太原市中考题)
6.同时都含有字母a、b、c,且系数为1的7次单项式共有( ).
A.4个 B.12个 C.15个 D.25个 (北京市竞赛题)
7.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示: 则代数式│a│-│a+b│+│c-?a│+│b-c│化简后的结果是( )
- 2 -
A.2-a B.2a-2b C.2c-a D.a
8.已知-m+2n=5,那么5(m-2n)2+6n-3m-60的值为( ) A.80 B.10 C.210 D.40
9.把一个正方体的六个面分别标上字母A、B、C、D、E、F并展开如图所示,?已知:A=x2-4xy+3y2,C=3x2-2xy-y2,B=式的和都相等,求D、F.
1(C-A),E=B-2C,?若正方体相对的两个面上的多项2
10.已知单项式0.25xbyc与单项式-0.125xm-1y2n-1的和为0.625axnym,求abc的值.
二、能力拓展
11.对于整式6x5+5x4+4x3+3x2+2x+2002,给定x的一个数值后,?如果小颖按四则运算的规则计算该整式的值,需算15次乘法和5次加法.小明说:“有另外一种算法，只要适当添加括号，?可以做到加法次数不变，?而乘法只算5?次”.?小明同学的说法是_______的.(填“对”或“错”)
12.若a-b=2,b-c=-3,c-d=5,则(a-c)(b-d)÷(a-d)=________.
13.当x=2时,代数式ax3-bx+1的值等于-17,那么当x=-1时,代数式12ax-3bx3-5?的值等于_________. (北京市“迎春杯”竞赛题)
14.将1,2,3,??,100这100个自然数,任意分为50组,每组两个数,?现将每组的两个数中任一数值记作a,另一个记作b,代入代数式
1(│a-b│+a+b)中进行计算,?求出其结2果,50组数代入后可求得50个值,则这50个值的和的最大值是_______.
15.计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12??+1993+1994-1995-1996+1997+1998-1999-2000,最后结果是( ).
A.0 B.-1 C.1999 D.-2000
- 3 -
16.已知a<-b且
a>0,则│a│-│b│+│a+b│+│ab│等于( ). b A.2a+2b+ab B.-ab； C.-2a-2b+ab D.-2a+ab
x2(ax5?bx3?cx)17.已知代数式当x=1时,值为1,那么该代数式当x=-1时的值是( ).
x4?dx2 A.1 B.-1 C.0 D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)
18.如果对于某一特定范围内x的任意允许值,p=│1-2x│+│1-3x│+??+?│1-9x│+│1-10x│的值恒为一常数,则此值为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5 (安徽省竞赛题) 19.(1)已知a、b为整数，且n=10a+b，如果17│a-5b,请你证明:17│n.
(2)?已知一个三位数,?它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数,证明:这个三位数也是11的倍数.
20.在一次游戏中,魔术师请一个人随意想一个三位数abc(a、b、c?依次是这个数的百位、十位、个位数字),并请这个人算出5个数acb、bac、cab与cba的和N,?把N告诉魔术师,于是魔术师就可以说出这个人所想的的数abc. 现在设N=3194,请你当魔术师,求出数abc来.
- 4 -
21.x、y、z均为整数,且11│7x+2y-5z,求证:11│3x-7y+12z.(北京市竞赛题)
22.计算多项式ax3+bx2+cx+d的值时有以下3种算法,分别统计3种算法中的乘法次数. ①直接计算:ax3+bx2+cx+d时共有3+2+1=6(次)乘法;
②利用已有幂运算结果:x3=x2·x,计算ax3+bx2+cx+d时共有2+2+1=5(次)乘法; ③逐项迭代:ax3+bx2+cx+d=[(ax+b)x+c]x+d,其中等式右端运算中含有3次乘法.
请问:
(1)分别使用以上3种算法,统计算式a0x10+a1x9+a2x8+?a9x+a10中乘法的次数,并比较3种算法的优劣.
(2)对n次多项式a0xn+a1xn-1+a2xn-2+?an-1x+an(其中a0,a1,a2,?,an为系数,n>1),分别使用以上3种算法统计其中乘法的次数,并比较3种算法的优劣.
- 5 -
答案：
1.1 2.(1)-3,1 (2)8. 3.4000000 4.-4 5.C 6.C 7.A 8.A
9.D=?3x2-7y+4y2,F=9x2-11xy+2y2
10.12 提示:由题意得b=m-1=n,c=2n-1=m,0.625a=0.25+(-0.125). 11.对 12.-
1 13.22 214.3775 提示:不妨设a>b,原式=a,?
由此知每组数的两个数代入代数式运算后的结果为两个数中较大的一个,
从整体考虑,只要将51,52,53,?,100这50?个数依次代入每一组中,便可得50个值的和的最大值.
15.D 16.D 17.B 18.B 提示:2+3+?+9+10=54,而8+9+10=27. 19.(1)提示:n=10a+b=10a-50b+51b=10(a-5b)+51b;(2)略 20.提示:将abc也加到和N上,
由于a、b、?c?在每一位上都恰好出现两次,? 所以abc+N=222(a+b+c) ①
从而1000+3194>222(a+b+c)>3194, 于是15≤a+b+c≤18. 因为222×15-3194=136,
222×16-3184=358, 222×17-3194=580, 222×18-3194=802.
其中只有3+5+8=16满足要求,即能使①成立, 故abc=358.
21.提示:4(3x-7y+12z)=11(3x-2y+3z)-3(7y+2y-5z). 22.(1)3种算法中乘法的次数分别为:
①10+9+8+?+2+1=55(次); ②2×9+1=19(?次); ③10次.
(2)乘法次数分别为:
①n+(n-1)+?+3+2+1=
n(n?1)(次); 2②2(n-1)+1=2n-?1(次); ③n次.
- 6 -