24.（12分）在Rt△ABC中，?BAC?90，AB?AC?2，点D在BC所在的直线上运动，作?ADE?45（A，D，E按逆时针方向）．
（1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E． ①求证：△ABD∽△DCE；
②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
（2）①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E?，是否存在点D，使△ADE?是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；
②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．
A
A E
C 45D 45B D B C
E
第25题图2 第25题图3
E?解 (1) ① 由∠BAC =90°，AB=AC，推出∠B=∠C=45°. ???????????1分
由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到 ∠BAD=∠EDC.????2分 推出△ABD∽△DCE．??????3分 ② 分三种情况：
（ⅰ）当AD=AE时，∠ADE=∠AED =45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，所以 AE =AC=2．???4分
（ⅱ）当AD=DE时，由 ①知 △ABD∽△DCE ， 又AD=DE ，知△ABD≌ △DCE. ?5分 所以AB = CD = 2 ，故BD = CE = 22?2， 所以 AE = AC-CE = 4-22．??6分
（ⅲ）当AE = DE时，有∠EAD =∠ADE = 45°=∠C， 故∠ADC =∠AED = 90°. 所以 DE = AE =
45° B D
A E 第25题图
1
A
C
1AC = 1． ??8分 2E 45° C 第25题图
A 2
B
D
（2）① 存在（只有一种情况）．???9分 由∠ACB = 45°推出 ∠CAD+∠ADC = 45°. 由∠ADE = 45°推出∠DAC+∠DEA = 45°.
D
6
'E /
45° B 第25题图3
C E
''从而推出∠ADC =∠D EA. 证得△ADC ∽△AED. ??10分 所以
ACAD' ， 又AD = DE ， 所以DC = AC = 2．??11分 ?DCE?D② 不存在．因为D和B不重合，
所以∠AED＜45°，∠ADE=45°，∠DAE＞90°. 所以AD≠AE．?????12分 2.（14分）（1）探究新知：
①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点． 求证：△ABM与△ABN的面积相等．
②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．
M D C
D N C M
B A A B
图 ①
F G E
图 ② （2）结论应用：
如图③，抛物线y?ax2?bx?c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线y?ax2?bx?c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相
等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
y D C y D C B O 图 ③
A x B O 备用图
A x
25. 解：﹙1﹚①证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F． ∵ AD∥BC，AD＝BC， ∴ 四边形ABCD为平行四边形． ∴ AB∥CD．∴ ME＝ NF． ∵S△ABM＝∴ S△ABM＝ S△ABN11AB?ME，S△ABN＝AB?NF， 22N C
M D C ． M D
K B A H
E A F B
图 ① F G E
图 ②
②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K． 则∠DHA＝∠EKB＝90°．∵ AD∥BE，∴ ∠DAH＝∠EBK．∵ AD＝BE，
7
∴ △DAH≌△EBK． ∴ DH＝EK． ∵ CD∥AB∥EF，
11AB?DH，S△ABG＝AB?EK， ∴ S△ABM＝ S△ABG 22﹙2﹚答：存在．
解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为y?a(x?1)2?4. ∴S△ABM＝
.
又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得0?a?3?1??4，解得a??1.
2∴ 该抛物线的表达式为y??(x?1)2?4，即y??x2?2x?3． ∴ D点坐标为（0，3）． 设直线AD的表达式为y?kx?3，代入点A的坐标，得0?3k?3，解得k??1. ∴ 直线AD的表达式为y??x?3．
过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为?1?3?2． ∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2．
设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为?m2?2m?3．
过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为3?m，EF∥CG． 由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等． ①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，
则PF＝3?m，EF＝?m2?2m?3． ∴ EP＝EF－PF＝?m2?2m?3?(3?m)＝?m2?3m．
2 ∴ ?m?3m?2． 解得m1?2，m2?1．
当m?2时，PF＝3－2＝1，EF＝1+2＝3． ∴ E点坐标为（2，3）． y C 同理 当m＝1时，E点坐标为（1，4），与C点重合．
②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚，
D E 则PE?(3?m)?(?m2?2m?3)?m2?3m． ∴m2?3m?2．解得m3?当m?当m?3?173?17，m4?． 22HP B O G F A x 3?173?171?17?2??时，E点的纵坐标为3?； 图 ③-1 2223?173?17?1?17?2?时，E点的纵坐标为3?．
222∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1
（2，3）；E2(y P D HC 3?171?173?17?1?17，?)；E3(，)． 2222y D HF C E B F O G A x B O G A P E x 图③－2 图③－3
8
8.已知二次函数y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=2．若关于x的一元二次方程x2+bx+c-t=0（t为实数），在-2＜x＜范围是-1≤t＜8
7的范围内有实数解，则t的取值2
16.如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），?，Pn（n，Pn）?．作 x轴的垂线，垂足分别为A1，A2?An ?，连接A1P2，A2P3，?，An?1Pn，?，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，依次类推，则点Bn的纵坐标( )．（结果用含n代数式表示）
9