下面来证明：a?b?a?b?a?b.
事实上，对于a,b显然有： ?a?a?a ?b?b?b
故有?(a?b)?a?b?a?b. 由上面的讨论知，a?b?a?b.
另一方面，a?a?b?b?a?b??b?a?b?b. 故a?b?a?b?a?b.
22证明:(反证法)设e?p,其中p,q是正整数,不妨假定p,q互素, q11!11????,2!3!取自然数n?q,用n!乘下列级数表达式两边: e?1??得:
n!e?n!?n!?n(n?1)?3???1?11??? n?1(n?1)(n?2)11??? n?1(n?1)(n?2)令an?n!?n!?n(n?1)?3???1, bn?于是n!e?an?bn,则n!e应为正整数, n!e?an应为整数. 但是
0?bn?111(1???)n?1n?2(n?2)(n?3)?111n?22(1???)?? n?1n?2(n?2)2(n?1)2n?1因为n?1,故0?bn?1,即bn不可能是整数,产生矛盾,所以e是无理数.
23证明：假设na?p,(p,q)?1,q?1 qpn两边n次方得a?n，
q但是(p,q)?1,所以(pn,qn)?1,qn?1，所以a不是整数，这与已知条件矛盾， 所以na是无理数. 24证明：假设logab?p,p?Z,q?N， q所以ap?bq，因为(a,b)?1，所以(ap,bq)?1
但是当p?0时，上式明显不成立；当p?0时，上式与(ap,bq)?1矛盾.所以，
logab不是有理数，又可以证明logab是实数，所以logab是无理数. 25证明：假设方程有有理数根x?pp,(p,q)?1,q?1，将x?其代入方程，可得：
qqpn??q(a1pn?1?a2pn?2q???anqn?1)，由此可知q的任何素数因子r必可整除pn，因此r必可整除p，从而知r为p与q的公因子，但是(p,q)?1，所以r?1，所以q?1，这与q?1矛盾.所以整系数代数方程xn?a1xn?1???an?0的任何非整实根均为无理数.
26按照字典排序法，先比较实部，再比较虚部. 27证明：将三次本原单位根x??或?2分别代入f(x)：
f(?)??3m?1??3n?2?1????2?1?0 f(?2)?(?2)3m?1?(?2)3n?2?1??2???1?0
因此，f(x)含有因式(x??),(x??2)，而(x??)?(x??2)?x2?x?1?0 所以(x2?x?1)|f(x)
28证明（反证法）：若?与3.8的和是有理数a，即??3.8?a，则a?3.8??. 因为全体有理数称为一个域，对减法运算封闭，所以差a?3.8仍是有理数，与?是无理数矛盾，所以?与3.8的和是无理数.
29两个无理数的商可能是有理数.例如：2是无理数，易证22也是无理数，
222?2?Z
30不能，因为无理数对四则运算不封闭.例如2?2?0.
31解：由于z4?(x?yi)4?(x2?y2?2xyi)2?(x2?y2)2?4x2y2?4(x2?y2)xyi 所以z4是纯虚数的条件是(x2?y2)2?4x2y2?0，4(x2?y2)xy?0 即x?(?1?2)y,y?0
32证明：设C1是C的任一子域，C1?R，且在C1中方程z2??1有解z?j. 按照题意，要证明C1?C.因为C1?C，所以只需要证明C1?C. 由j?C1，C1?C，知j?C，依C的四则运算律，有
(i?j)(i?j)?i2?ji?ij?j2?0
于是，i?j或i??j.任取??C，由??x?yi,(x,y?R)， 知??x?yj或??x?yj
又由于x,y,j?C1，而C1是域，于是??C1，因此C1?C.
第二章习题及答案 1．设x?0, 证明
x?ln(1?x)?x. 1?x1.利用微分中值定理1?x证明 取f(x)?ln(1?x). 在(0,x)上有导数f?(x)?f?(?)?f(x)?f(0)ln(1?x)?ln(1?0)1??,0???x.
x?0x?01??xx11?ln(1?x)?x. . 又因ln(1?x)???1, 因此有
1?x1??1?x1??222即ln(1?x)?2．若x,y,z均为实数, 且x?y?z?a(a?0),x?y?z?12a.求证: 2222a,0?y?a,0?z?a. 333121222222证明 由x?y?(a?x?y)?a有x?(y?a)x?(y?ay?a)?0. 其判别
2421222式??(y?a)?4(y?ay?a)?0(因x?R). 从而, 3y2?2ay?0即0?y?a.
3422同理可证0?x?a,0?z?a.
330?x?3．设a,b,c表示一个三角形三边的长, 求证:
a2(b?c?a)?b2(c?a?b)?c2(a?b?c)?3abc.
证明不失一般性, 设a?b?c, 令a?c?m,b?c?n, 则m?n?0. 有
3abc?a2(b?c?a)?b2(c?a?b)?c2(a?b?c)?a(a?b)(a?c)?b(b?c)(b?a)?c(c?a)(c?b)?(c?m)(m?n)m?(c?n)n(n?m)?cmn?(m?n)[c(m?n)?(m2?n2)]?cmn?0.
?a2(b?c?a)?b2(c?a?b)?c2(a?b?c)?3abc.
22224．设x,y?R, 且x?y?1.求证: x?2xy?y?2.
证明 设x2?y2??2, 则由题设可知, ??1, 并可设x??cos?,x??sin?.于是
x2?2xy?y2??2(cos2??2cos?sin??sin2?)??2(cos2??sin2?)??22sin(??).
4??x2?2xy?y2?2.
5．已知a?1,b?1, 求证
a?b?1.
1?ab证明 欲证
a?b2a?b)?1, 即证(a?b)2?(1?ab)2. ?1成立, 只需(1?ab1?ab222222则只需(1?ab)?(a?b)?0, 也就是1?ab?a?b?0, 即证
(1?a2)(1?b2)?0. 而a?1,b?1, 所以(1?a2)(1?b2)?0成立. 命题得证.
6．若
?ai?1(ai?0), 求?(ai?i?1nni?111)?(n?)n. ain证明 a1?11111?a1?2?2?...?2?(n2?1)n2?12n2n2?1, a1na1na1na1na1?????????n2项a2?11111?a2?2?2?...?2?(n2?1)n2?12n2n2?1, …… …… a2na2na2na2na2???????????n2项an?11111?an?2?2?...?2?(n2?1)n2?12n2n2?1. annannannannan???????????n2项以上诸式, 当且仅当ai?1(i?1,2,...,n)是等号成立. 诸式两端相乘得n(a1?1111)(a2?)...(an?)?(n2?1)nnn2?12n3.
n2?1a1a2ann(a1a2...an)nn11n2?1n3?n由已知?ai?1可得a1a2...an?,()?n.
naa...ai?112nn11n11112nn2?1 即(a?)?(n?). (a1?)(a2?)...(an?)?(n?1)n,?i2n3n?n3ana1a2annni?1i等号当且仅当a1?a2?...?an?851时成立. n27．证明: 函数f(x)?x?x?x?x?1?0. 证明 (1) 当x?(??,0)时, 显然f(x)?0;
(2) 当x?(0,1)时, f(x)?x?x(1?x)?(1?x)?0;
53(3) x?[1,??)时, f(x)?x(x?1)?x(x?1)?1?0.
823综合(1), (2), (3)可知, 可知f(x)恒正. 8．证明 若ai?1(i?1,2,...,n),则2证明 用数学归纳法证明如下: 当n?1时, 命题显然成立;
假设命题对n成立, 我们来证明它对n?1也成立, 注意到ai?1(i?1,2,...,n).
n?1(a1a2...an?1)?(1?a1)(1?a2)...(1?an).
?(1?a)?(1?aii?1n?1n?1)?2(?ai?1)?2(?ai??ai?an?1?1)n?1n?1i?1i?1i?1nn?1n