LTI时间系统响应的经典时域分析方法
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【摘要】在信号与系统的学习中，由于信号系统频域分析法和复频域分析法具有物理意义明确，计算简便的特点，越来越多的人习惯了用频域和复频域分析法来求解系统。而直观易于理解的经典时域分析法却被忽略，很多信号与系统的教材都缺少对其系统的介绍。系统介绍LTI时间系统响应的经典时域分析方法的求解步骤和方法，并在此基础上分析经典法的适用场合和优缺点。 【关键词】经典法 微分方程
线性时不变、动态、因果、集总参数连续或离散的系统简称线性时不变系统（Linear Time Invariant , LTI）。系统分析就是根据已知的系统的参数和结构，研究系统的特性，也就
是求解系统的输入和输出的关系。在进行系统分析时，一般的分析步骤是根据已知的系统结构和参数进行建模，即对离散系统列写差分方程，对连续系统列写微分方程。然后求解模型，也就是求解列写的微分方程或者差分方程。最后说明解的物理意义，当然这一步不是必须的，可以根据要求来看是否要解释其物理意义。
由此可见，系统分析时，最重要也是最关键的步骤就是求解模型。在模型的求解过程中可以采取的方法很多，比如不经任何变换、以时间t为函数变量的时域分析法；经过拉氏变换转换为复频域的复频域分析法等。时域分析法中，又有经典法和算子法。算子法是把求导符号用一个算子符表示，然后算子符可以参与到数学的基本运算中，大大简化了微分方程的复杂的求解方法。由于算子法这一计算简便的特点，所以被很多教材重点介绍，而忽略了直观且易于理解的经典法。经典法的计算虽然稍微麻烦一些，但是经典法求解系统是学习其他方法的基础，也是理解系统的全响应分解为自然响应和受迫响应的基础。另外，在电路中求解一阶和二阶电路系统重点介绍的就是经典法。所以经典法求解系统在信号与系统的学习中起着举足轻重的作用，也是我们必须要系统掌握的一种方法。
一、经典时域分析方法的求解步骤和方法
经典时域分析方法即直接求解微分方程，微分方程的全
解即系统的全响应，由齐次微分方程的通解??r??n(t)??和非齐次方程的特解??r??p(t)??组成。 ??r??(t)=??r??n(t)+??r??p(t)??.
非齐次方程的特解又称为系统的受迫响应（forced response），齐次方程的通解也叫自由响应（natural response）。可见，自由响应包括两输入响应的全部和零状态响应中和零输入响应只差一个常系数的部分，受迫响应包括零状态响应中除去和零输入响应只差一个常系数部分剩下的全部。 （1）微分方程的解的通式的求解方法 对于连续时间系统，设系统方程的一般形式为 非齐次方程的特解即微分方程的特解。
非齐次方程的特解的形式，受激励信号的控制。常用激励信号对应的特解的形式
（2）代入初始值求系统的响应
如要求出系统的响应，则根据系统的初始条件求出一般形式的系数就可以了。系统初始条件的求解方法： 1.所给的系统的初始条件个数只要和系统的微分方程的阶数一致就可以，不一定非得是所需要的初始条件的形式，这时就要根据所给的初始条件求出求解系数所需要的条件代入。
2.由初始状态求初始值
对于LTI系统，如果输入没有冲激和它的各阶导数，则
系统由状态（0??-）到状态（0??+）不会发生跳跃，即??f(0??+)=f(0??-)??。 二、经典法的缺点
由受迫响应的求解可知，用经典法求解系统的响应时，解的形式过于依赖激励信号的结构形式，且当激励较为复杂时，用经典法就无法求解。虽然如此，但是经典法求解系统的响应是我们学习信号与系统时必须要掌握的一个方法，此方法是我们直接运用数学知识分析系统的一种最为直接的方法，无需理解信号复杂的物理意义，也是我们学习系统的其他解法的基础。此外，此方法的另一个缺点是，当激励信号或者初始条件发生改变时，则需全部求解，也就是一改全改。
虽然经典法存在很多缺点，但是其在信号系统的学习和求解系统中起着奠定学习基础的作用，所以它的重要性是不容忽略的，也是我们学习系统的人必须要掌握的一种系统求解方法。
参考文献：
[1]管致中.信号与线性系统（上册）.高等教育出版社，2004.
[2]邱关源.电路.高等教育出版社，2006.