20．（本小题满分16分）
设数列{an}的各项均为不等的正整数，其前n项和为Sn，我们称满足条件“对任意的
m，n?N*，均有(n?m)Sn?m?(n?m)(Sn?Sm)”的数列{an}为“好”数列．
（1）试分别判断数列{an}，{bn}是否为“好”数列，其中an?2n?1，bn?2n?1，n?N，并给出证
明；
（2）已知数列{cn}为“好”数列．
① 若c2017?2018，求数列{cn}的通项公式；
② 若c1?p，且对任意给定正整数p，s（s?1），有c1，cs，ct成等比数列， 求证：t≥s．
2*
6
参考答案
数学Ⅰ
一、
填空题：
1．【答案】4 2．【答案】2+i 3．【答案】50 4．【答案】30 15．【答案】
56．【答案】???,2? 7．【答案】93 48．【答案】?23
319．【答案】
31111＋cos 2x1112
解析一：f(x)＝cosx(sin x＋cosx)－＝sin xcosx＋cosx－＝sin 2x＋－＝sin 2x＋cos
22222222x＝
π?2?2?1sin?2x＋?，因为f(?)?，所以sin(2??)?，所以
4?2?643????1??cos(?2?)?cos??(2??)??sin(2??)?。
44?43?21111＋cos 2x1112
解析二：f(x)＝cosx(sin x＋cosx)－＝sin xcosx＋cosx－＝sin 2x＋－＝sin 2x＋cos
22222222x， 因为f(?)?22，所以sin 2α＋cos 2α＝，
367
???2221cos(?2?)?coscos2??sinsin2???cos2??sin2?????4442233。 所以
10．【答案】10
【解析】因为?an?是首项为1，公比为2的等比数列，所以an?2n?1，
a1(1?qn)a1(1?qn?1)??2n?1?2n?1?1?3?2n?1?2，因为am?(bm?28)?2018， 所以bn?1?q1?q所以2m?1?(3?2m?1?2?28)?2018，所以2m?1?512，即m?10． 11．【答案】sin1
【解析】由题可知sinx?ax?b?0恒成立，即sinx?ax?a?a?b恒成立，令g(x)?sinx?ax?a， 所以g?(x)?cosx?a?0，所以g(x)?sinx?ax?a在[?1,1]上是减函数，所以a?b?g(1)?sin1， 即a?b的最大值为sin1． 12．【答案】2 4?CA?AB?35k,??bccosA?35k,?3521151??【解析】设???，所以?AB?BC?21k, 所以??accosB?21k,
CA?ABAB?BCBC?CAk???abcosC?15k,BC?CA?15k,????a2?b2?c2?35k,?a2??36k,
?2?2a2?b2?c236?50?56222??即?b?c?a?21k, 所以?b??50k, 所以cosC?．
2ab42?6?52?2?222c?a?b?15k,c??56k,??13．【答案】[2,??)
?【解析】设?PQO??(0???),OQ?d?1，则QP?QN?|QP|2?cos2??(d2?1)(1?2sin2?)
222222222d?3x?y?3上．，所以，解得，即点Q在圆)?d??3d??3?d2d2d23
3≤3，所以正实数a≥2．又点Q在直线l:x?ay?3?0上，所以圆心O到直线l的距离21?a ?(d2?1)(1?14．【答案】1009 解析：因为偶函数y?f?x?满足f(x?2)?f(2?x)，所以f(x?4)?f(?x)?f(x)， 所以函数y?f?x?是最小正周期为4的偶函数，且在x???2,0?时，f?x???x2?1，
所以函数y?f?x?的值域为[﹣3，1]，对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）－f（xj）|≤f(x)max－f(x)min＝4，要使xn取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，且f(0)＝1，f(1)＝0，f(2)＝－3，因为0≤x1?x2??xn，且f?x1??f?x2??f?x2??f?x3?? ?f?xn?1??f?xn??2017，
8
根据2017?4?504?1，相应的xn最小值为1009． 二、解答题：
15．【解】（1）因为f(x)的最小值是－2，所以A＝2． …… 2分
???1又由f(x)的图象经过点M(,1)，可得f()?1，sin(??)?， …… 4分
3332?????所以???2k??或???2k??，
3636?
又0????，所以??，
2?故f(x)?2sin(x?)，即f(x)?2cosx． …… 6分
2824（2）由（1）知f(x)?2cosx，又f(?)?，f(?)?，
513824412故2cos??,2cos??，即cos??,cos??， …… 8分
513513?35又因为?,??(0,)，所以sin??,sin??， …… 10分
2513所以f(???)?2cos(???)?2(cos?cos??sin?sin?) …… 12分
41235126． …… 14分 ?2(???)?5135136516．【证】（1）在四棱锥P?ABCD中，因为?BAD?90?，
所以AB?AD．
又AB?PA，且AP?平面PAD，AD?平面PAD，ADAP?A，
所以AB?平面PAD． …… 4分 又AB?平面ABCD，所以平面PAD?平面ABCD． …… 7分 （2）取AP的中点F，连EF，BF．
1AD，又AD∥BC，BC?1AD，
22所以EF∥BC，且EF?BC，所以四边形BCEF为平行四边形， 在△PAD中，EF∥AD，且EF?所以CE∥BF． …… 11分 因为CE?平面PAB，BF?平面PAB，
所以CE∥平面PAB． …… 14分 17.【解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,2)．
（1）小路的长度为OA?OB?AB，因为OA,OB长为定值， 故只需要AB最小即可．
作OM?AB于M，记OM?d，则AB?2OA2?OM2?24?d2， 又d≤OD?2，故AB≥24?2?22， 此时点D为AB中点．
故小路的最短长度为4?22(百米)．……………4分 （2）显然，当广场所在的圆与△ABO内切时， 面积最大，设△ABO的内切圆的半径为r，
y B D A O x 9