天地无穷期，生命则有穷期，去一日，便少一日；富贵有定数，学问则无定数，求一分，便得一分。—[清]王永彬
1951年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
第一部分：
1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x，y. 解略：??x?5 ?y?32．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？ 证：设△ABC的重心与外接圆的圆心均为O（图1）∵OA=OC，E为AC的中点，∴BE⊥AC；同理，CD⊥AB，AF⊥BC在ADOBFERt△ABE与Rt△ACD中，∠A为公共角，
BE=CD=R+R=R（R为外接圆半径），所以△ABE≌△
1232CACD，AB=AC，同理可得AB=BC由此可知△ABC为等边三角形3．当太阳
的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？ 解略：3丈 xyz??,而a,b,c各不相等,则x?y?z??a?bb?cc?axyz解:设??,?t,则有x?(a?b)t,y?(b?c)tz?(c?a)t
a?bb?cc?a由此可得:x?y?z?(a?b)t?(b?c)t?(c?a)t?04.若5．试题10道，选答8道，则选法有几种？
8解略：c10?45
6．若一点P的极坐标是（r,θ），则它的直角坐标如何？ 解：x=rcos?,y=rsin? 7．若方程x2+2x+k=0的两根相等，则k=？
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天地无穷期，生命则有穷期，去一日，便少一日；富贵有定数，学问则无定数，求一分，便得一分。—[清]王永彬 解：由Δ=b2-4ac=0,得k=1
8．列举两种证明两个三角形相似的方法 答：略 9．当（x+1)(x-2)＜0时，x的值的范围如何？ 解略：-1＜x＜2
10．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程 解略：bx-ay=0
11．（x+)6展开式中的常数项如何？ 解：由通项公式可求得是T4=20 1x12．cos2??0的通解是什么？ 解：??k??.(k为整数)
13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？
答：最少是一个，最多是三个 ?414．? 245?505??543
解：原式=(?2)?0?3?4?5?5?(?5)?4?5?5?0?5?5?4?(?2)?4?(?5)?3?100 15．x2-4y2=1的渐近线的方程如何？ 解略：x?2y?0
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天地无穷期，生命则有穷期，去一日，便少一日；富贵有定数，学问则无定数，求一分，便得一分。—[清]王永彬 16．三平行平面与一直线交于
A，B，C三点，又与另一直线 A A＇ α
交于A＇，B＇，C＇三点，已知 B B＇ β
B1
AB=3，BC=7及A＇B＇=9求A＇ γ
C C＇ C1
C＇ 解：如图易证:
ABAB1A?B????A?C??30 ACAC1A?C?17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积 略：6立方尺 18．已知lg2=0.3010,求lg5. 略：lg5=1-lg2=0.6990
19．二抛物线y2=12x与2x2=3y的公共弦的长度是多少？
解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：
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20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？ 解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C, ∠AGF=∠B+∠D=2∠B,
∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A ∴5∠A=1800，∴∠A=360 第二部分：
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BFAGECD天地无穷期，生命则有穷期，去一日，便少一日；富贵有定数，学问则无定数，求一分，便得一分。—[清]王永彬
1．P，Q，R顺次为△ABC中BC，CA，AB三边的中点，求证圆ABC在A点的切线与圆PQR在P点的切线平行 证：如图：由AD是大圆的切线， 可得： ∠1=∠2 由RQ∥BC，可得：∠2=∠3， 由QP∥AB，可得：∠3=∠4 A1R3452BP6ECQ由PE是小圆的切线， 可得： ∠4=∠5 由RP∥AC，可得：∠5=∠6 综上可得：∠1=∠6，故AD∥PE
2．设△ABC的三边BC=4pq,CA=3p2+q2,AB=3p2+2pq-q2,求∠B，并证∠B为∠A及∠C的等差中项
解：由余弦定理可得：
AB2?BC2?CA2(3p2?2pq?q2)2?(4pq)2?(3p2?q2)21cosB???222AB?BC22(3p?2pq?q)?4pq ??B?60???C??B?(180???A??B)??B?60???A ??B-?A,??B是?A与?C的等差中项.3．（1）求证，若方程x3+ax2+bx+c=0的三根可排成等比数列， 则a3c=b3.
证：设α，β，γ是方程x3+ax2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：α+β+γ=-a
αβ+βγ+γα=b
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天地无穷期，生命则有穷期，去一日，便少一日；富贵有定数，学问则无定数，求一分，便得一分。—[清]王永彬 αβγ=-c
又因α，β，γ排成等比数列，于是β2=αγ ?(???)???2????????????(?????)???b????????3??????c????????? ?a??????????(?????)????????此即 a3c?b33333（2）已知方程x3+7x2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根 解：由⑴可知β3=-c，∴β3=27，∴β=3代入α+β+γ=-7
可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比数列，∴β2=αγ， 即αγ=9，故可得方程组：
??????10解之,可得???9或?1,???1或?9. ?????9于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-9 4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线 Y
过抛物线顶点O任作互相垂直的二弦OA和 A
OB，设OA的斜率为k，则直线OB的斜率为
·P（x,y)
1 -，于是直线OA的方程为： k O X
y =kx………………………②
B
证：设抛物线方程为y2=2px……………①
直线OB的方程为：
y??1x?????????③ k设点A（x1 ,y1),点B(x2 ,y2)由①，②可得：
x1?2p,k2y1?2p. k5
天地无穷期，生命则有穷期，去一日，便少一日；富贵有定数，学问则无定数，求一分，便得一分。—[清]王永彬 由①，③可得：
x2=2pk2, y2=-2pk
设P（x，y）为AB的中点，由上可得： x1?x2p2?2?pk??????2k ④ y1?y2py???pk???????2kx? ⑤ 由⑤可得： p22y?k2?2p2?p2k2???????? ⑥ 由④可知：
p2px?2?p2k2,代入⑥
k?p222?22?y???pk?2p?px?2p?k2? ??即 y2?px-2p2, 2所以，点P的轨迹为一抛物线
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