高中数学函数知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
2 如：集合A?x|x?2x?3?0，B??x|ax?1?
?? 若B?A，则实数a的值构成的集合为3. 注意下列性质：
（1）集合?a1，a2，??，an?的所有子集的个数是2n；
要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2, a3,??an,都有2种选择，所以，总共有2种选择， 即集合A有2个子集。
当然，我们也要注意到，这2种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2?1，非空真子集个数为2?2
nnnnn（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；
（3）德摩根定律：
CU?A?B???CUA???CUB?，CU?A?B???CUA???CUB?
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式ax?5?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a
x2?a的取值范围。
7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。
如：若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}；问：A到B的映射有 个，B到A的映射有 个；A到B的函数有 个，若A?{1,2,3}，则A到B的一一映射有 个。
函数y??(x)的图象与直线x?a交点的个数为 个。
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数y?x?4?x?lg?x?3?2的定义域是
函数定义域求法： ? 分式中的分母不为零； ? 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
10. 如何求复合函数的定义域？
如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定 义域是_____________。
例 若函数y?f(x)的定义域为?,2?，则 的定义域为 。
2
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=
???1???1的值域 x2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=x2-2x+5，x?[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
b型：直接用不等式性质2k+xbxb. y?2型,先化简，再用均值不等式x?mx?nx11 例：y???121+x2x+xx2?m?x?n?c.. y?2型 通常用判别式x?mx?nx2?mx?nd. y?型 x?n 法一：用判别式a. y? 法二：用换元法，把分母替换掉2x2?x?1（x+1）?（x+1）+1 1 例：y???（x+1）??1?2?1?1x?1x?1x?1
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。
例 求函数y=x+x?1的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：求函数y=
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y=
12. 求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？
切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，
与到手的满分失之交臂 如：f(x?2)2+
(x?8)2的值域。
x?2的值域 x?3?x?1?ex?x，求f(x).
?
15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：
根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
可以变形为求
f(x1)?f(x2)f(x1)的正负号或者与1的关系
x1?x2f(x2)
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：
偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。 ③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘） ⑤函数f(x)与
1f(x)在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）
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⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正 数 增 增 增 增 增 增 减 减 / / 减 增 减 / / 减 减 增 减 减
17. 函数f(x)具有奇偶性的条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）
若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称 若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。
（3）f（x）是定义域在（-6,0），（0，6）上的奇函数，若x＞0时f（x）= 求x＜0时f（x） 判断函数奇偶性的方法
一、 定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f(?x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数 f(x)?1 偶函数 f(-x)f(x)??1 奇函数f(-x)三、 复合函数奇偶性
f(g) 奇 奇 偶 偶 g(x) 奇 偶 奇 偶 f[g(x)] 奇 偶 偶 偶 f(x)+g(x) 奇 非奇非偶 非奇非偶 偶 f(x)*g(x) 偶 奇 奇 偶
18.（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f?x?T??f(x)，则f(x)为周期函数，T是一个周期。） 如：若f?x?a???f(x)，则
我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推
f(x)?f(x?t)?0?导：f(x?t)?f(x?2t)?0???f(x)?f(x?2t)，
?同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)?f(x)?f(2a?x)???????f(2a?x)?f(2b?x)?f(x)?f(2b?x)?令t?2a?x,则2b?x?t?2b?2a,f(t)?f(t?2b?2a)即f(x)?f(x?2b?2a)所以,函数f(x)以2|b?a|为周期(因不知道a,b的大小关系,为保守起见,我加了一个绝对值 如：
19. 你掌握常用的图象变换了吗？
f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称 联想点（x,y）,(-x,y) f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称 联想点（x,y）,(x,-y) f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称 联想点（x,y）,(-x,-y) f(x)与f?1(x)的图象关于直线y?x对称 联想点（x,y）,(y,x)