f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称 联想点（x,y）,(2a-x,y) f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称 联想点（x,y）,(2a-x,0)
将y?f(x)图象??????????左移a(a?0)个单位右移a(a?0)个单位y?f(x?a)y?f(x?a)
上移b(b?0)个单位y?f(x?a)?b ??????????下移b(b?0)个单位y?f(x?a)?b 注意如下“翻折”变换：
f(x)???|f(x把)|轴下方的图像翻到上面x f(x)?? ?f(|x把|)轴右方的图像翻到上面y 19.
(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a （1）一次函数：y?kx?b?k?0? （2）反比例函数：y?的双曲线。
(k为斜率，b为直线与y轴的交点)
kk?k?0?推广为y?b??k?0?是中心O'(a，b) xx?a2b?4ac?b2? （3）二次函数y?ax?bx?c?a?0??a?x?图象为抛物线 ???2a?4a2?b4ac?b2?b 顶点坐标为??，?，对称轴x??
4a?2a?2a 开口方向：a?0，向上，函数ymin4ac?b2?
4a
a?0，向下，ymax4ac?b2?
4a根的关系：x??b??2a
bc? x1?x2??,x1?x2?,|x1?x2|?aa|a|二次函数的几种表达形式：f(x)?ax2?bx?c(一般式)f(x)?a(x?m)2?n(顶点式，（m，n）为顶点f(x)?a(x?x1)(x?x2)(x1,x2是方程的2个根）f(x)?a(x?x1)(x?x2)?h(函数经过点（x1,h)(x2,h) 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax2?bx?c?0，??0时，两根x1、x2为二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax2?bx?c?0(?0)解集的端点值。
②求闭区间［m，n］上的最值。
b） fmax?f(m),fm?infn()2ab区间在对称轴右边（m??） fmax?f(n),fm?infm()2ab?m） 区间在对称轴2边 （n?? 2a4ac?b2 fmin?f,ma?xmfamx(f(n),())4a也可以比较m,n和对称轴的关系，距离越远，值越大 区间在对称轴左边（n??(只讨论a?0的情况） ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。
???0??b2 如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k????k
2a???f(k)?0 y (a>0) O k x1 x2 x
一根大于k，一根小于k?f(k)?0
???0?b??n?m??在区间（m，n）内有2根??2ax （4）指数函数：y?a?a?0，a?1? ?f(m)?0???f(n)?0在区间（m，n）内有1根?f(m)f(n)?0
（6）“对勾函数”y?x?k?k?0? x 利用它的单调性求最值
y ?k
O k x
21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）
如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）
（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(t·t) ∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t) ∴f(?t)?f(t)??）
（3）证明单调性：f(x2)?f?x2?x1??x2???
??
（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、 代y=x，
2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)
3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1
几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数
f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y） 2. 幂函数型的抽象函数
f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（
xf(x)）＝ yf(y)例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)
在区间[－2,1]上的值域.
例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.
例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1]. （1） 判断f（x）的奇偶性； （2） 判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明； （3）
例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求： （1） f（0）； （2） 对任意值x，判断f（x）值的符号.
例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.
例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求： （1） f（1）； （2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.
例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.
例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y）， （1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0； （2） 求证：f（x）为偶函数； （3）
若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范围.
1）≤0. 2
例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证： （1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1； （2） f（x）在x∈R上是减函数.
练习题：
1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ） （A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1 （C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对 2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ） （A）f（1）＝0 （B）f（
1）＝ f（x） x（C）f（
x）＝ f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N） y3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（ ） （A）（1，＋∞） （B）（－∞，1） （C）（0，1） （D）（－1，＋∞）
4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有 f（x1－x2）＝
f(x1)?f(x2)，则f（x）为（ ）
1?f(x1)f(x2)（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（ ） （A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数