代入拉格朗日方程或直接从动势能的结果得到运动方程：
0????m?x??k1?k2????????01ml2??????k2l2?k1l112??k2l2?k1l1??x??0??????。
k2l22?k1l12??????0????400003000??x??0?x0????20代入数值得：???????????? ???03.75?????300022500?????0?方法2：利用平面运动微分方程。?1和?2为平衡时弹簧的静变形。
???mg?k1(x??1?l1?)?k2(x??2?l2?) mx12??ml??k1(x??1?l1?)l1?k2(x??2?l2?)l2 12平衡时：mg?k1?1?k2?2，k1?1l1?k2?2l2 即可得到同样的运动方程。
40000?20?2（2）频率方程：[K]??[M]?300022解得：?12?2000,?2?6000
3000?0 222500?3.75??X??40000?20?12振型：??[K]??[M]???????3000???21??X?3000??{0} 2??22500?3.75?1?????1??1?解得：{u1}???，同理{u2}???
026.67?????x?（3）响应：???C11{u1}cos?1t?C12{u1}sin?1t?C21{u2}cos?2t?C22{u2}sin?2t
???代入初始条件求得：C11?C22?C21?0,C12?1 所以响应为：x?C12sin?1t?sin?1t,??0】
5.13 二层楼房简化成集中质量的两个自由度系统，
X如图所示，设m2=2m1,k2=2k1,试证明主振型为11?2，
X21m1 x1 k1 x2 k2 m2 ?12?k1X2k2?1。 ；12??1，?22m2X22m1【解：本题可以看作标准的m-k振动系统，因此质量矩阵和刚度矩阵分别为：
?m[M]??1?00??m1??m2???00?， 2m1??题 5-13图
x
?k[K]??1??k1?k1??k1??k1?k2????k12?k1?， 3k1??k1?m1?2代入频率方程：[K]??[M]??k1解得：?12??k1?0 23k1?2m1?k12k2,?2?1 2m1m1k1??k?m?k111???X??k1?k??X?2m1?X11??1121???11???2?[K]??[M]?振型：?????{0} 1??X????kXX?21??21??k13k1?2m11??21????k12k1???2m1??XX则：11?2，同理12??1】
X21X225.15 试求图示两个物体沿直方向振动的主频率和主振型，设m1=m、k1=k，滑轮、弹
簧与软绳的质量以及阻力均忽略不计，设在平衡位置时，左边物体m1突然受到撞击，有向下的速度v0，试求m1与m此后的运动方程。
【解：（1）建立振动方程。
方法1：利用拉格朗日方程或能量方法。取静平衡位置为0势能点。由重力引起弹簧的静变形和重力势能的影响在计算中不必考虑。
k1 O1 m1 x1
题 5-15 图
m k O x 121??m1x?12， mx2211势能：V?kx2?k1(x1?x)2
22动能：T?代入拉格朗日方程或直接从动势能的结果得到运动方程：
???k1?kx?m0???????0m????x1??1????k1???2k?k1??x??0?x?m0???，即?????????0m????k1?xx0???1???k??1????k??x??0??????。 k???x1??0?方法2：利用牛顿定律。?和?1为平衡时弹簧的静变形。
????mg?k(x??)?k1(x1??1?x) mx??1?m1g?k1(x1??1?x) mx平衡时：m1g?k1?1，mg?k??k1?1 即可得到同样的运动方程。 （2）求固有频率和振型。
2k?m?2频率方程：[K]??[M]??k2?k?0 2k?m?kkk2k，?2?1.618。 ,?2?2.618，即?1?0.618mmmm2振型：?[K]??[M]?1???u1??{0}
解得：?12?0.382?1??1?解得：{u1}???，同理{u2}???
1.618?0.618?????x?（3）响应：???C11{u1}cos?1t?C12{u1}sin?1t?C21{u2}cos?2t?C22{u2}sin?2t
?x1?代入初始条件求得：C11?C21?0,C12?0.724v0所以响应为：
mm,C22??0.276v0 kkx?0.724v0x1?1.171v0mmsin?1t?0.276v0sin?2t kkmmsin?1t?0.171v0sin?2t】 kk5.24 求题图5.24所示系统的固有频率方程。
【解：（1）建立振动方程。
方法1：利用拉格朗日方程或能量方法。取静平衡位置为0势能点。
m
11题5.24图
22111势能：V?k(x?L?)2?mgL(1?cos?)?k(x?L?)2?mgL?2
222?)2， ?2?m(L?动能：T?mx代入拉格朗日方程或直接从动势能的结果得到运动方程：
???kx?kL??x??0??m0?????0mL2???????kLkL2?mgL??????0?，
???????????方法2：利用动力学定律。 ????k(x??L) mx????mgLsin??k(x?L?)L??mgL??k(x?L?)L mL2?写成矩阵形式即可得到同样的运动方程。
k?m?2（2）频率方程：[K]??[M]??kL2?kL?0 222kL?mgL?mL?展开得: ?4-2kL?mg2kg?+?0】 mLmL5.26 求题5.26图所示系统的固有频率。
【解：（1）建立振动方程。设左右质量的位移分别为x1和x2。
方法1：利用拉格朗日方程或能量方法。取静平衡位置为0势能点。由重力引起弹簧的静变形和重力势能的影响在计算中不必考虑。
?3 ?1
x1
题5.26图
112211212势能：V?k?12?k?2?k?3
222这里的?1、?2、?3为三个弹簧由x1和x2引起的变形，它们
2?12?mx?2动能：T?mx，
?2
x2
的关系是：
x1??1??3,x2??2??3,k?2?k?3?k?1
则：?1?2x1?x22x?xx?x,?2?21,?3?12 3332221?2x?x2?1?2x2?x1?1?x1?x2?1222所以：V?k?1?k?k?k(x1?x2?x1x2) ?????2?3?2?3?2?3?23代入拉格朗日方程或直接从动势能的结果得到运动方程：
?1?1?2kk??x1??0?x?m0???????0m?????x???0?， ?k2kx3???2????2???方法2：利用牛顿定律。重力引起弹簧的静变形和重力的影响在计算中不必考虑。
??1??k?1,mx??2??k?2 mx将前面计算的?1?2x1?x22x?x,?2?21代入即得到同样的运动方程。 33k32k?m?23?0
2k?m?23（2）频率方程：[K]??2[M]?k3展开求得: ?1?k，?2?3mk】 m5.29 用拉格朗日方程求题5.29图所示系统的振动微分方程。 【解：取静平衡位置为0势能点。由重力引起弹簧的静变形和重力势能的影响在计算中不必考虑。
1211势能：V?k2(x1?x2)2?k1x12
22?T?T?T?T?2，?0，?m2x?0，?0，
?1?2?x?x?x1?x22?2动能：T?mx，
x1
x2
题5.29图
?V?V?(k1?k2)x1?k2x2，??k2(x1?x2)， ?x1?x2广义力：只设x1处发生虚位移?1，则：Q1?代入拉格朗日方程
?1?1?cx?1?1，同理：Q2?0. ??cxd?T?T?V???Qi，得： ?i?xi?xidt?x?1，mx??2?k2(x1?x2)?0】 (k1?k2)x1?k2x2??cx
5.39 题5.39图所示系统，质量为m的物块处于光滑水平面上，通过刚度为k的弹簧与质量为M、长度为L的均质刚杆连接，求系统的响应。
【解：（1）用动力学定律建立振动方程。
???F0sin?t?k(x?L?) mx???k(x?L?)L?Mga? J?题5.39图
?m则：??0???k0???x?kL??x??F0sin?t??????。 ??????02??J??kLkL?Mga???????????X??F0??x??X?2?（2）设解为?????sin?t，代入方程得：?[K]??[M]????? ????????????0??1?F0??k?m?2?X?2则：?????[K]??[M]???0????kL????????F0??kL???
kL2?Mga?J?2??0?kL??F0?? 2??0k?m?????1?kL2?Mga?J?2??kL[K]??2[M]?1??F0(kL2?Mga?J?2)??422?mJ??(kJ?mkL?mMga)??kMga????
FkL0??422??mJ??(kJ?mkL?mMga)??kMga????F0(kL2?Mga?J?2)??422?x??X??mJ??(kJ?mkL?mMga)??kMga?所以：?????sin?t???sin?t】
??F0kL??????422??mJ??(kJ?mkL?mMga)??kMga??