第6章 多自由度系统的振动
6.2 求题6-2图系统的运动方程、频率方程，并求其主频率和主振型。
k m k m m 题 6-2 图
【解：质量矩阵和刚度矩阵为 ?m00??k?，[K]???k[M]??0m0??????00m???0?k2k?k0??k?? k??k?m?2频率方程：[K]??2[M]??k0?k2k?m?2?k0?k?0 k?m?2即：m?2(k?m?2)(m?2?3k)?0， 固有频率：?1?0,?2?k3k,?3? mm?1???0频率对应刚体模态（振型）：{X(1)}??1?
?1???2将2阶频率代入特征值问题?[K]??[M]???{X}?0得：
?k?k??k???0?k2k?k?k0??1??1?????(2)(2)(3)?k?{X}?0{X}?0{X}?，则，同理????2?】 ???1??1?k?k??????
6.9求题6.9图所示系统的微振动微分方程。
题6.9图
【答：利用能量法或直观判定方法。
1112?12?m2x?2?32 动能T?m1x?m3x2221111211势能V?kx12?k(x1?x2)2?k(x2?x3)2?kx3?2k(2x2)2?2k(2x2)2
222222?m1[M]???0??00m200??2k??k0?[K]?，???m3??0??k6k?k0??k??】 2k??6.11题6.11图所示系统，长为l的均质杆质量为m。求微振动微分方程。
【解法1：利用能量方法。
11112?22?12?m2x?2动能T?m1x?ml? 222311势能V?k1(x1??l)2?k2(x2??l)2
22l?mg(1?cos?)
2111?k1x12?k2x22?(k1?k2)l2?2 22211?(k1x1?k2x2)2l??mgl?2 24?m1?[M]??0??0?012ml300??k1l0??k1???12??0，[K]??k1l(k1?k2)l?mgl?k2l?。
2????0?k2lk2?m2??????
x1
x2
题6.11图
解法2：利用动力学定律。
x1??k1(x1??l)?m1???l?12??】 ml??k(x??l)l?k(x??l)l?mgsin?。?112232??x2??k2(x2??l)?m2???????0。?01??6.28题6.18图系统中，l＝3 m，若初始条件为y01?y0，?02??03?0，y0203求初始激励的自由振动响应。
题6.18图
【解：（1）利用能量方法建立振动方程。
1l?2112?21l?2112?2????动能T?m(y)?ml??m(y??2)?ml?2 1122212222121112?21??11ml2??2?1mly? ?2??????2myml?1?mly1222232232111势能V?k(y??1l)2?k(y??2l)2?ky2
22211111?3ky2?2kly?1?kl2?12?2kly?2?kl2?22 222221?2m?ml?2?112[M]???mlml?23??1ml0?2?1?ml2??3k?klkl???。 2?klkl00?，[K]?????2?0kl???kl?12?ml?3?（2）求固有频率和振型。
3k?2m?21[K]??2[M]??kl?ml?221kl?ml?221?kl?ml?221kl2?ml2?2301kl?ml?2201kl2?ml2?23?0
求得固有频率：?12?(3?3)k2k2k,?2?3,?3?(3?3) mmm?????1??1??????0?3?33?3??????(3)(2)代入特征值问题求得振型：{X(1)}???。 ?，{X}??1?，{X}??2l2l?????1????3?3??3?3???????2l?2l???（3）求标准振型矩阵。
2主质量：M1?{X(1)}T[M]{X(1)}?m，M2?{X(2)}T[M]{X(2)}?ml2，
3M3?{X(3)}T[M]{X(3)}?m ??1?1?3?3标准振型矩阵：[QN]??m?2l?3?3??2l?032l232l2??1?3?3??。 2l?3?3???2l?（4）初始条件标准化。
?3?3?12l?1?3{ZN0}?[QN]T[M]{x0}??02l2m??3?3?12l??3?3??1??2m?ml2l?2?3??112?mlml?2l2??23?3?3??1ml0???2?2l???1?ml2??y??0??0??0? ?0?????12?ml?3???1?3?my0???21?3??0?
2??T?}?[Q]T[M]{x?0}?{000}T 同理：{ZN0N（5）标准坐标响应 ZN1?ZN10cos?1t??ZN10sin?1t?my01?3cos?1t， 2?1同理：ZN2?0，ZN3?my0（6）广义坐标响应
1?3cos?3t， 2??1??y?1?3?3????1??[QN]{ZN}??m?2l????2??3?3??2l?032l232l2??1?3??1cos?t?1??2??3?3???my0?? 0?2l???1?3?cos?3t?3?3???2????2l??1?3?1?3cos?t?cos?t?13?22????3?3??y0?cos?1t?cos?3t?。】
2l2l???3?3?cos?t?cos?t??132l2l????
6.29 题6.23图系统中，若初始条件为x01?x02?x03?x0，
?01?x?02?x?03?0。求初始激励的自由振动响应。 x【解：（1）利用能量方法建立振动方程。
先计算各质量的速度。用水平坐标x和铅垂坐标y表示： x1?lsin?1,y1?lcos?1，
x2?lsin?1?lsin?2,y2?lcos?1?lcos?2，
x3?lsin?1?lsin?2?lsin?3,y3?lcos?1?lcos?2?lcos?3，
题6.23图
?cos?,y?sin?， ?1?l??1??l?求导得速度：x1111?cos??l??cos?,y?sin??l??sin?， ?2?l??2??l?x11221122?cos??l??cos??l??cos?,y?sin??l??sin??l??sin?， ?3?l??3??l?x1122331122331112222?12?y?12)?m(x?2?2?3?3动能T?m(x?y)?m(x?y) 2221?2?1ml2??2???2?2?????ml2?11212cos(?1??2) 22??1?2???2???2?2???????????ml2???12312cos(?1??2)?213cos(?1??3)?232cos(?3??2) 2??