广东工业大学试卷参考答案及评分标准 (A) 课程名称: 高等数学（2） 考试时间: 2007年6月25日 (第17周 星期一) 一、填空题（每小题4分，共20分） 1． (?4,2,?4)； 2：9x?y?z?27?0； 3． 0； 4： 9813； 5： 0。 二、选择题（每小题4分，共20分） 1 2 3 4 5 B A A C B 三、（每小题8分，共24分） 1．计算第一型曲线积分：?(x?Ly)ds，其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的 三角形。 解： ?(x?L10y)ds?10?OA(x?y)ds??OB(x?y)ds??AB(x?y)ds??..?..??(1分）=?ydy+?xdx????????????????...??..??(4分）1?=12??[x+(1-x)]2dx?????????????......????（7分）012?2?1?2?????????????.......????（8分） 共6页，第 1 页
2．利用级数收敛的必要条件，证明：limn??nn2(n!)?0。 证明 考虑正项级数 ?n?1??un??n?1nn2， ……………………（2分） (n?1)n?12(n!)由比值判别法 limn??un?1un?limn??(n!)nn2[(n?1)!]?limn??(n?1)nnn?1…………………（4分） ?limn??1n?1(1?1nnn).?limn??nen?1?0?1 …………………………………………（6分） nn2从而级 ?n?1?(n!)2 收敛，由收敛级数的必要条件得 limn??(n!) ?0 ……………（8分）3．用拉格朗日乘数法求：设计一个容量为32立方米的长方形开口水箱，问水箱的长，宽和高各等于多少米时，其表面积最小？ 解：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则由题意： 目标函数为：S 条件函数为：32?xy?2yz?2xz?xyz…………………………………………………（1分） ………………………………………………………… (2分） 根据题目要求，利用拉格郎日数乘法，构造函数为： L(x,y,z,?)?xy?2yz?2xz??(32?xyz)…………………………… （3分） ?Lx?y?2z??yz?0??Ly?x?2z??xz?0则有：??Lz?2y?2x??xy?0?xyz?32?…………………………………………… （6分） 解之：x?4,y?4,z?2,??1 对于实际问题，由于驻点是唯一的，则该点就是所求的最大值点。所以当长方体的长、宽、高分别为4，4，2的时候，可以使无盖的长方体表面积最大。 …………（8分） 注：如果出现目标函数与条件函数颠倒，酌情扣4分； 如果目标函数多了盖子，按错误函数求解的，酌情扣4分。 共6页，第 2 页
四、(8分) 设函数f(x,y) 可微，且满足f(x,x)?x36?2x4，f1'(x,x)?2x33?3x2， 求f2'(x,x)3。 dydx?f1'?3x2解：(方法一) 两边对x求导 左端： 右端：dydx?6x5f2' ………………………… （3分） ?8x33 …………………………（5分） 3 由已知 有 2x3f1'(x,x)?2x2?3x52 3?3x?3x32f2'?6x3?8x ………………………………（7分） ……………………………… （8分） 3整理得 (方法二) 因为 df所以 dff2'(x,x)?2x?2x?1(x,y)?fx'(x,y)dx?fy'(x,y)dy333(x,x)?f1'(x,x)dx?f2'(x,x)dx5 ……………… （3分） ………………（5分） (6x?8x)dx?(2x53233?3x)dx?3x222f2'dx 从而 (6x即 (方法三) 因为 ?df?6x?3x)dx?3xf2'dx33 …………………（7分） f2'(x,x)?2x?2x?1 …………………（8分） (x,x)?f(x,x)?C(x,x)?333 f2'dx3 ?df?f1'dx?12x4?3 f2'dx12x343 ?所以 ?f2'3xdx?x26?x4?3? ………………（3分） ?2x?x6?x322?4?C?x?x?C …………………………（5分） 于是 3x2即 f2'?6x35?6x33?3x …………………………（7分） ……………………（8分） f2'(x,x)?2x?2x?1 共6页，第 3 页
五、（8分）应用格林公式计算曲线积分：?为由(a,0)到(0,0)经过圆x2解：连接两点O(0, ??? ??y2(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dyABxx，AB ?ax上半部的路线(a?0)。 0),A(a,0)AOA，从而 ，构成封闭路径?AOA??OA???OA??AB? OAx 2 2 ?ax（2分） ， （3分） ?a42记 P(x,y)?esiny?2y,Q(x,y)?ecosy?2,D:x?yx由格林公式：???线段OA：x(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dx?xxAOA??2dxdy?D（6分） ??(t)?t,y??(t)?0,(0?t?a)， （7分） ?从而 ?(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dy?0OAxx 2(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dy?ABxx?a4 （8分） 评分说明: 写出 P求出 ?Q?x?esiny?2y,Q?exxcosy?2. 得1分, ?excosy,?P?y?excosy?2 得2分 没有考虑积分曲线的封闭性而直接用格林公式且计算出结果得4分. 共6页，第 4 页
六、（10分）设x?0,y?1,y?xf(x,y)为连续函数，且f(x,y)f(x,y)?xe2?y2???Df(u,v)dudv，其中D是由直线 围成的区域，求。 解：设 ??f(x,y)dxdy?A ……………………(1分) D 则 A??D???D2xe2?y2dxdy?A??dxdyD11 ……………………(3分) xe2?ydxdy???0dx?xxe2?y2dy 或 dx??Dxe2?y2dxdy?10dyy?0xe2?y2 ……………………(5分) ＝? ＝dxdy?12161013?ye3?y2dy ……………………(6分) 1613e ……………………(7分) ??D ……………………(9分) 13e12?y2由于 A?(?)?A, A19(1??19(1?2e) 所以 f(x,y)?xe2??2e). …………………… (10分) ?七（10分）求级数 ?n?12n?12nx2n?2 的收敛域及和函数，并求 ?n?12n?12n 。 （1） 求级数的收敛域（5分） 解法一：设 t?x2，则级数 ?i?1?2n?12n?x2n?2??i?12n?12ntn?1， ……………………(1分) ……………………(3分) 也发散， ……………(4分) 由 ?当 t?limn??an?1an?limn??2?n?1??12n?12n?12n?12，知收敛半径 R??2??2，级数 ?i?12n?12 发散；当 t??2，级数 ???1?i?1n?12n?12共6页，第 5 页
则其收敛域为 ??2,2?，可知原级数的收敛域为 ??2,2? ……………………(5分) 解法二：因级数只含偶数项，故采用前后通项之比求其收敛域： 由 limn??un?1un?limn??2?n?1??12n?1x2?n?1??22n?12nx2n?2?12x2 ……………………(1分) 根据比值判别法，由 当 x??212x?2?1 时级数收敛可知：当 x??2n?12?2,2? 时原级数收敛 ……(3分) 时，级数 ?i?1 发散， …………………(4分) 2所以原级数的收敛域为 ??2,? …………………(5分) （注：直接由级数的系数之比得收敛半径R?2得2分；写出前后通项之比公式得1分；因前后通项之比的极限值求错引起的结果错误得3分） （2） 求级数的和函数及数项级数的和（5分） ?设级数的和函数为S?x????i?12n?12nx2n?2， 则 S?x???i?12n?12n?x2n?2??i?12n?x?n?22n?1???' …………………(6分) （或?i?1??而级数 ?i?1x2n?1n2?1x??i?1?x????2??x2?x'2x2n?1n2?x2??i?1?x????2?2n?1?x2?x2） ……………(8分) x??则级数的和函数为 S?x????2??2?x??2?x22?2?x?2 ……………………(9分) …………………(10分) 幂级数中取x?1得数项级数 ?i?12n?12n?S?1??3（注：求级数的和函数有多种解法，得分标准参上执行）
共6页，第 6 页