2017年浙江高中数学竞赛
一，填空题（每题8分，共80分）
1. 在多项式?x?1??x?2?的展开式x6的系数为______.
3102. 已知log7?5a?3??loga?15，则实数a=_________.
23. 设f?x??x2?ax?b在?0,1?中有两个实数根，则a2?2b的取值范围是___________.
sin2x?cos2x?cos2xcos2y?sin2xsin2y4. 设x,y?R,且?1，则x?y?_______.
sin?x?y?5.已知两个命题，命题p:函数f?x??logax?x?0?单调递增；命题q:函数g?x??x2?ax?1?0?x?R?,
若p?q为真命题，p?q为假命题，则实数a的取值范围为____.
6. 设S是?0，?中所有有理想的集合，对简分数的个数为___________.
7. 已知动点P,M,N分别在x轴上，圆?x?1???y?2??1和圆?x?3???y?4??3上，则PM?PN的最小值为
2222??5?8?q?S,?p,q??1，定义函数p?q?q?12??fx??则在S中根f??,?p?3p??__________.
8. 已知棱长为1的正四面体P—ABC,PC的中点为D,动点E在线段AD上，则直线与平面ABC所成的角的取值范围为__________.
?????b?2，c?3,0???1.若b?c?0，则a??b??1???c所有取不到的值的集9. 已知平面向量a,b,c,满足a?1，合为____________.
10. 已知f?x?????2x,x?0,22????方程fx?21?x?fx?21?x?2ax4?0有三个根x1?x2?x3.若2?x?1.x?0,x3?x2?2?x2?x1?，则实数a=_______.
二. 解答题
11. （本题满分20分）设f1?x??x2?32,fn?1?x??x2?16fn?x?,n?1,2,?，对每个n，求fn?x??3x的实数解。 3x2y2??1的右焦点为F，过F的直线y?k?x?2?交椭圆与P,Q两点?k?0?.若PQ12. （本题满分20分）已知椭圆62的中点为N，O为原点，直线ON交直线x?3于M （1）求?MFQ的大小；
（2）求
PQ的最大值 MF13. （本题满分20分）设数列?an?满足：an?1?2an?2,an?2,n?1,2,3,?， 证明：如果a1为有理数，则从某项后?an?为周期数列
14. （本题满分30分）设a1,a2,a3;b1,b2,b3?Z?,证明：存在不全为零的数
?1，?2，?3??0,1,2?，使得?1a1??2a2??3a3和?1b1??2b2??3b3同时被3整除
15. （本题满分30分）设???a1，a2，?，an?为?1，2，?，n?的一个排列，记
F?????aiai?1,ai?1?ai,求minF???
i?1n?
参考答案
一，填空题 1，【答案】-4128
3456【解析】27C10?3?26C10?3?25C10?24C10??4128
2,【答案】2
【解析】将原式化简为log7?5a?3??loga2?15,由于f?x??log7?5x?3?为x?3上的增函数，5g?x??log5x2?1为R上的增函数，且f?2??g?2??1。因此可得函数a=2
3,【答案】[ 0. 2 ]
??a?a2?【解析】因为f?x??x?ax?b??x???b?在[0,1]中有两个实数根，所以a,b满足
2?4?22f?0?b?0,f?1??a?b?1?0,a2?4b?0,0??a?1，由此可得到a2?2b的取值范围为[0,2] 24,【解析】由于si2nx?co2sx?co2sxco2sy?si2nxsi2ny?si?nx?y?si?nx?y?且sin?x?y??0，所以
sin?x?y??1。故x?y?2k???2,k?Z
5, 【解析】命题p成立当且仅当a>1；命题q成立当且仅当-2
a???2,1???2,???
6, 【答案】5 【解析】由于f?x??为5 7, 【答案】
22m?151,令q?2m?1,p?3m,m?Z则有0??,?m?8由此检验可得方程的根的个数33m82?3?1?2???4?2?2?1?223=210?3?1
22【解析】圆?x?1???y?2??1的圆心坐标为?1,2?，圆?x?3???y?4??3关于x轴对称的圆的圆心坐标为（3，-4）则PM?PN的最小值为?3?1????4?2??1?3=210?3?1
22arctan8，【答案】???0，??14?? 7??136??D??4,12,6???【解析】记BC中点为O点，以O为原点，BC为X轴正向，OA为y轴正向，建立空间直角坐标系，则
?3??136???1??????,A?0，,0?,B??,0,0?,C?，0,0?,P?0，,263???2?????2?所以.从而可设
?1?13536?13536???0?t?1?，于是BE??t?,E?t??t,t?t,t?。设所求角为θ，则
?4???2126?22126???42t271?7?这里最后一个不等式是由于单调性以及tan??2。所以co2?t?6t?2?6t?1??6?t?1???2?，
7t?12t?1222?2?22t?1?1。因此有0?tan???14?14arctan，即???0，?
7?7?6????????，13?1???4，13?9, 【答案】?
【解析】将向量b,c的起点平移至原点O，再以b,c分别为x,y轴正向建立平面直角坐标系。则向量?b??1???c对应的点坐标为P?2?,3?1????。
于是OP?13?2?18??9,OPmin?613。而a??b??1???c表示的是点P到单位圆周上的距离d，则d的最大13值为4，最小值为10，【答案】
66??13?1.因此所有取不到的值的集合为???，13?1???4，??? 1313??1?f?x??g?x??f?x??g?x?2【解析】设g?x??21?x2,定义域为?1?x?1，max?f?x?,g?x???方程可变形为max?f?x?,g?x???ax?2.由?2x?21?x2得x???
2，从而有 2?2]??2x,x?[?1,??2 max?f?x?,g?x?????21?x2x?[?2,1]?2?于是?2x?ax?2?x??2?2???1?x???,可得0?a?22?2； ?a?2?2??4a。由于x1?x2?x3,x3?x2?2?x2?x1?，可得 2a?421?x2?ax?2?x?0,x??2x1?3x2,即
412a17?3 ?2,有a?a?2a?42二，解答题
11，【证明】利用数学归纳法 （1）x?2是fn?x??3x的解 当n=1时，x=2是f1?x??x2?32?3x的解。
4?16fk?2??6 3当n=k时，设fk?2??6,则fk?1?2??由此可得x?2是fn?x??3x的解对于所有n （2）当x>2时，fn?x??3x???32x 232x?x?2? 2当n?1时，f1?x??x2?32?3x?当n?k时，设fk?x??3x?3216x,则fk?1?x??x2?fk?x??x2?8x2?3x 23由此可得x?2都不是fn?x??3x的解（对于所有的n） （3）当0?x?2时，fn?x??3x
当n?1时，f1?x??x2?32?x2?8x2?3x?0?x?2? 当n?k时，设fk?x??3x,则fk?1?x??x2?16fk?x??x2?16x?3x 3由此可得0?x?2都不是fn?x??3x的解对于所有的n 因此，对每个n,fn?x??3x的实数解为x?2 12，
???x2y2?1??【解】：（1）联立?6,可得3k2?1x2?12k2x?12k2?6?0 2?y?k?x?2????设P点的坐标为xp,yp,Q点的坐标为xq,yq,则
????12k212k2?6xp?xq?2,xpyq? 23k?13k?1于是有yp?yq?kxp?xq?4k????4k 23k?1?6k2?2k?1?k??因为PQ的中点为N,所以N?。因此ON的斜率为。 ,ON?3k2?13k2?1?3k??因为直线ON交直线x?3于M,所以M?3，???1?1?。故MF的斜率为kMF??， k?k因此MF与PQ垂直，?MFQ?即得kMF?kPQ??1。?2。
（2） 2222x?x?kx?xPQ??pqpq
I???k2xp?xq??1 ?MF?1?2k
?144k42k2?1?k2?122?k??242??24k22 223k?13k?13k?1????
??????2?k2xp?xq?4xpxq???2?????令u?3k?1,则2?u?1??u?2???16?I?83u21?1。 u2111?16??11?9??????????? ??3?u22u2?3???u4?16??2由于u?3k?1?1,故0?因此Imax?3当u?4时取到最大值，也即k??1。 综上所述，13，
??PQ的最大值为3 MF?an?为周期数列 【解析】证：（1）若a1为有理数，则（2）对于任意的n,设an?y,?y,x??1,由已知条件，有且仅有下述一个等式成立 x