an?1?2an?2?2y?2x2y?2x,或an?1?2an?2?xx??
?an与an?1有相同的分母（不进行约分）
（3）设a1?bq,?p,q??1,则an?n,bn为整数。由于an?2,n?1,2,3,?，因此 pp?2p?bn?2p
（4）若存在两个自然数k?1，使得ak?a1，则由（2）中得到的第k项开始是一个周期数列，周期为l?k
（5）由（3）可知对于任意的n,bn的值只有4??1（有限个），故总能找到k?l,使得bk?b1， 从而有ak?al
综上所述，如果a1为有理数，则从某项后?an?为周期数列
14，
【证明】：不妨设ai?ki?mod3?,bi?li?mod3?,ki,li??0,1,2?,i?1,2,3则要证明结论正确，只要证明存在不全为零的数?1，?2，?3??0,1,2?，使得
??递推公式以及a?n可得?an?从?2,n?1,2,3,?，?1k1??2k2??3k3??1l1??2l2??3l3?mod3??0?mod3?。记k1l2?k2l1?c?mod3?,这里c??0,1,2?
情形（1）当c?0时,则k1?l1?0,或者k1,l1不全为零。 若k1?l1?0,则取?1?1，?2??3?0，有?式成立
??
???若k1,l1不全为零，不妨设k1?0,则取?1??2，?2??k1,?3?0,且
??1k1??2k2??3k3?k2k1?k1k2?0?mod3?,即???1l1??2l2??3l3?k2l1?k1l2?0?mod3?情形（2）当c?1或2时，即c?1?mod3?
2??式
?记c?k2l3?k3l2??c1?mod3?,c?k3l1?k1l3??c2?mod3?,这里c1,c2??0,1,2? 令?1?c1,?2?c2,?3?1,则?1，?2，?3??0,1,2?且不全为零，且
?1k1??2k2??3k3?c1k1?c2k2?k3?c?k2l3?k3l2?k1?c?k3l1?k1l3?k2?k3?mod3?,?ck3?k2l1?k1l2?k2?k3?mod3?，?1?c2k3?mod3??0?mod3?,类似可以证明?1l1??2l2??3l3?0?mod3?
??15，【解】问题等价于圆周上放置n个数，使得相邻的乘积之和为最小，最小值记为Tn 不妨设a1?n，则数字1必与它相邻。否则设aj?1,上的数字，则相邻数的乘积和的该变量为
?j?2,n?,则可将a2,a3,?，aj的数字改变为aj,aj?1,?，a2a1aj?a2aj?1?a1a2?ajaj?1??a1?aj?1??aj?a2??0
于是可确定a2?1。再说明数字2也必与数字n相邻，即an?2
事实上，若aj?2,?j?n?，则交换aj,aj?1,?，aj为aj,aj?1,?，an。此时的目标改变值为
a1aj?anaj?1?a1an?ajaj?1??a1?aj?1??aj?an??0
因此目标取到最小值时，a1?n,a2?n，an?2由此出发，依次可得a3?n?1,an?1?n?2。在已安排好的两端数字，若剩下的数比两端数字都小，则在剩下的数中找两个最小的数字，按小对大，大对小放置；若剩下的数比两端数字大，则在剩下的数字中找两个最大的数，按大队小，小对大放置。由此规律即得a4?3,an?2?4,a5?n?3,an?3?n?4,?。 下面用递推法计算Tn。
考虑n+2个数字，我们在Tn的数字排序中，将每个数字加1，再放置1，n+2这两个数字，在2,n+1的中间插入n+2，1.即可得到Tn?2。
因此Tn?2?Tn???n?1???n?2??2?n?2??2?n?1? 其中Tn????a?1??aii?1ni?1?1??Tn?n?n?2?。由此可得
Tn?2?Tn?n2?4n?5
可以推出
?13125n?n?n?1,n?2m??626Tn??
115?n3?n2?n?1,n?2m?1?26?6