3.若??3是可逆方阵A的一个特征值，则A?1必有一个特征值为 。 4.设?1,?2是分别属于方阵A的不同特征值?1,?2的特征向量，则?1,?2必线性 。 5.实对称矩阵A?02OL 的两个特征值为__________。 MP23NQ6.设实数?是实矩阵A的某个特征值，则可知矩阵 B?A3?2A2?E的某个特征值
??_____。
7.若已知n阶方阵A的行列式A?2，??2是矩阵A的一个特征值，则其伴随矩阵A*必有一个特征值为__________。
8.已知3阶矩阵A的特征值为1,?1,2，则矩阵B?A3?2A2的特征值为_______________。 9.设A是幂零矩阵,即存在正整数k，使得Ak?0，则A的特征值为 。 10.设A为n阶方阵，且A2?5A?6E?O，则A的特征值只能是________________。
?1??1?????11.设向量?1??1?和?2??0?都是矩阵A对应特征值??2的特征向量，且向量
?0??1????????1?2?2，则向量A?? 。
12.已知2是A的一个特征值，则|A2?A?6E|?_______________。 二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1.可逆矩阵的特征值一定不为零。
2.若?是n阶矩阵A的特征值，则?2是A2的特征值。 3.设A为n阶方阵，则A与AT有相同的特征值。 4.设A为n阶方阵，则A与AT有相同的特征多项式。
5.设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值,?1,?2是对应的特征向量,则?1??2也是A的特征向量。 三、解答题
1.求下列矩阵的特征值、特征向量：
??211???(1).A??020?；
??413??? 11
?310???(2).B???4?10?；
?4?8?2????31?1???(3).C??35?3?；
?002????001???(4).D??010?。
?100???2.已知3阶方阵A的特征值为1,2,?3,试求A??3A?2E。
?1??2?12?????3?的一个特征向量，3.已知???1?是矩阵A??5a试确定参数a,b及特征向量
??1???1b?2??????所对应的特征值。
相似矩阵
一、填空题
1.若n阶方阵A与B相似，且A?2，则BA? 。
?23??12??2.若?相似，则x? ，y? 。 ?与????yx??34?3.与n阶单位矩阵E相似的矩阵是 。 二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1.相似矩阵的行列式相等。
2. 设矩阵A相似于矩阵B, 则A2与B2也必相似。
3.设A,B都是n阶方阵,若A与B相似,则A与B有相同的特征值。 4.设A,B都是n阶方阵,若A,B有相同的特征值,则A与B相似。 5.设A,B,C都是n阶方阵,若A与B相似, B与C相似,则A与C相似。 三、解答题
?200???1.设矩阵A??12?1?，（1）求A的特征值和特征向量；
?101???（2）试求一可逆矩阵P，使得P?1AP为对角阵。
12
?301???2.设A??040? （1）A是否能对角化？说明理由。
?103??? （2）若能，试求可逆矩阵P，使P?1AP为对角阵。
?1??0??0???????3.三阶方阵A的特征值为1,0,?1， 对应特征向量分别为?1??1?,?2??1?,?3??0?, 求
?1??1??1???????A88。
?200???4.设A??032? (1) 求A的特征值和特征向量；
?023??? (2) A是否可对角化？若可对角化，试求矩阵P，使得P?1AP成为对角形。
实对称矩阵的正交对角化
一、填空题
1.设向量??(1,5,k,?1)T 与向量??(2k,3,?2,k)T 相互正交， 则k = 。 2.向量??(1,2,3)T与??(?1,2,b)T正交，则b?_______________。
3.已知??(1,1,0,?1),??(?1,?2,0,1)。则内积[3???,???]? 。 4.设???1,2,a,4?,????4,b,?2,1?,若?与?正交,则a,b应满足的关系为 。 5.设A为n阶正交阵，则A必可逆，且A?1?_____________。
6.设向量?,?分别为实对称阵A的两个不同特征值?1,?2所对应的特征向量，则
[?,?]=________。
????7.已知矩阵A??????1212013131?3??a????a?为正交矩阵，则矩阵元素a,b分别为 __________ 。 ??b??二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1.设A为正交阵，则矩阵A的实特征值?满足等式：?2?1。 2.若A是正交方阵,则A?1?AT也是正交阵，且A?1或?1。
13
3.设A,B都是n阶正交方阵,则AB也是n阶正交方阵。
??1?14.矩阵A????2?1??3??12????是正交矩阵。 ???1???1312112三、解答题
1.设?1??1,2,?1?,?2???1,3,1?,?3??4,?1,0?,将该向量组规范正交化。 2.将向量a1??1,?1,0?，a2??1,0,1? ，a3??1,?1,1?化成规范正交基。 3．设?1??2,?2,1?,?2??0,1,?1?,试求数k1,k2，使向量??k1?1?k2?2 是与?1正交的单位向量，并求?.
TTTTTTTT 14
矩阵
一、 填空题
1. A的列数=B的行数
2. A的列数=B的行数, A的行数=B的列数； A、B为同阶方阵 3. k?是数乘，?k是两个矩阵的乘法；k?=?k 4. cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj
5. (A?B)2?A2?AB?BA?B2,(A?B)2?A2?AB?BA?B2??,??
(A?B)(A?B)?A2?AB?BA?B2
??15???1?6. ?2????02???? 7. ?15 ?5?21??1????20????8. ???6,????123??123??21000??? 9. ???123???03100?? 10. ???54???25?? 11. ???f(A0?1)??0f(A? 2)??二、判别说理题
1.× 2.× 3.× 4.× 5.× 6.× 三、解答题
1. AB???6?78???4?52???,AB?ABT????3?145???3?12?5???。
??1?10????2?21?2. BT??0??1?100?AB???2?21???,??。 ?11?1?1???00?2???00?2???行列式的计算
一、 填空题
1. abcd 2. |A|?a11A11?a21A21???an1An1 3. ?15 4. 19,?90
15
5. 4 6.