其中： f(t)?Ae?iEt?，而?(r)由下式决定：
?22???E? ——定态方程。 ????U(r)??E? ——H2?（1）能级——本征值
只对一系列特定的E值——E1,E2,?En才有解，这些值是算符H的本征值，称为能级 （2）本征函数
与相应能级En对应的态函数?n——是H的本征函数。?1,?2,??n （3）本征值方程
H?n?En?n——本征值方程，
实际上，
?????，则?为F?的本征值，?为?的本征函数，方程F?????为算符F?的本征方程。 F（4）简并度——对应一确定的能量值En，波函数的数目称为简并度dn。 3. 定态薛定谔方程的通解
对应于E1,E2,?En，有?1,?2,??n，则有
?1t????1(r,t)??1(r)e?，?2(r,t)??2(r)eiEiE2t????,?n(r,t)??n(r)eiEnt?，
所以由态叠加原理??c1?1?c2?2?...?cn?n?...??ci?i，得通解
i????(r,t)??cn?n(r,t)??cn?n(r)enniEnt?
——广义的傅里叶级数。就好像任意复杂波动的波函数都可以写成无穷多个简谐波动波函数的线性叠加一样。其中cn为待定系数， 由初始条件决定。 4. 定态的性质 能量E为实数——E??E。
??j?w?0 概率密度和概率流密度都与时间无关。 ?0， ?t?t 6
5. 一维无限深势阱
0?x?a?0V(x)??
x?0,x?a?? 薛定谔方程
d22阱内： ??k??0，k?2dx2?E 2??2?2n2(1). 能级和波函数 En?, ?n(x)?22?a2n?sin(x) aa(2). 概率密度 ?n(x)?22n?sin(x) aa束缚态：无穷远处为零的波函数所描述的状态。 基态：体系能量最低的态。 二、基本要求：
掌握本节介绍的基本概念：
2. 熟练掌握一维定态薛定谔方程的解的形式. 3. 了解定态的性质
熟练掌握定态薛定谔方程在一维势阱中的应用。 三、作业： 1. 证明E为实数。
2. 证明态函数所具有的正交归一性， 2.3
第5讲教学方案
一、基本内容： 1. 上节回顾： 2. 一维线性谐振子 V(x)?1M?2x2， 2?22（1） 波函数
?(?)?Nne或 ?n(x)?Nne??Hn(?)
?22x2Hn(?x)
7
其中Nn为归一化系数，由????*?n(x)?n(x)dx?1确定，Nn???2nn!12
（2）概率密度分布——在势场范围之外也有粒子存在，这一点与经典谐振子完全不同。
??x?222)(2ax?1)e2知， 例如：由?2(x)?(2?122???n(x)?0 （3）能级
1En?(n?)?? ，n?0,1,2,?
21零点能：n?0， E0???。表明当温度趋于绝对零度时，粒子也不会停止振动。
22（4）相应的递推公式
x?n(x)?1[n?n?1?n?1?n?1]
?212?2x2?n(x)?[n(n?1)?n?2?(2n?1)?n?(n?2)(n?1)?n?2]
d??n(x)?[n?n?1?n?1?n?1] dx2d2?2?n(x)?[n(n?1)?n?2?(2n?1)?n?(n?2)(n?1)?n?2] 22dx二、基本要求：
1. 了解研究一维线性谐振子的意义。 2. 熟练掌握一维线性谐振子能级公式 3. 应用相应的递推公式解题 三、作业：2.4,2.7,补充题
第6讲教学方案——第二章 小结
【内容总结】
一、波函数的统计解释. (量子力学―基本假设)
?2??(r,t)为概率波。 ?(r,t)概率密度
8
??(r,t)满足: 连续性，有限性，单值性。
波函数的归一化是在全空间必然找到粒子的体现。
二、态叠加原理：
? 、?i、 ?是微观粒子的可能状态，那么它们的线性叠加如果?1、?2、???ci?i也是微观粒子的可能状态。
态叠加原理是微观粒子具有波动性的体现。微观粒子的态是具有正交性。 三、薛定谔方程 (量子力学――基本假设)
微观粒子状态的变化遵从薛定谔方程
????22??U(r,t)]?(r,t) i???[??t2?（1）.薛定谔方程是基本假定，是建立的不是推导的； （2）.薛定谔方程是线性方程 四、定态薛定谔方程
定态：U(r,t)与t无关，U(r,t)?U(r)
??????it定态波函数 ?n(r,t)??n(r)e?
?22????U(r)?n(r)?En?n(r) 定态薛定谔方程 [?2????E? Hnnn定态波函数实际是能量本征函数
五、连续性方程
几率密度 w??? 几率流密度 J?*E???Im(?*??)
??w???J?0 ——概率守恒 ?t六、一维定态问题 1. 实例
（1）一维无限深势阱 V(x)??0?x?a?0，
x?0,x?a??9
222本征值 E??nn?2?a2； 本征函数 ?n?2asinn?ax （2）一维线性谐振子 V(x)?12M?2x2 本征值 E1n???(n?2) ?2本征函数 ?(?)?Nne?2Hn(?)
N???n?1, Hn?(?1)ne?2dn?d?ne??2，???x?22nn!?x
（3）一维方势垒 U(x)???U0?0 0?x?ax?0,x?a
2. 一维定态波函数的一般性质
（1） 能量E为实数——E??E。
（2） 概率密度和概率流密度都与时间无关。 ?w?t?0，3. 例题
作业: 补充题
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