所以n2?4n?7?2n，即n2?6n?7?0 所以n?7或n??1，
所以n?7，n?N ????????13分
16. 解：（I）因为?ADB?75?，所以?DAC?45?
在?ACD中，AD?2， 根据正弦定理有
CDAD? ????????4分 ??sin45sin30所以CD?2 ????????6分 （II）所以BD?4 ????????7分 又在?ABD中，
?ADB?75?，sin75??sin(45??30?)? 所以S?ADB?所以S?ABC?6?2 ????????9分 41AD?BD?sin75??3?1 ????????12分 2333?3 ????????13分 S?ABD?22同理，根据根据正弦定理有
ACAD? ??sin105sin306?2 ????????8分 4而 sin105??sin(45??60?)?所以AC?3?1 ????????10分 又BD?4，BC?6 ????????11分 所以 ????????13分
17.解：（I）因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上
所以PO?平面ABC，所以PO?AC ???????2分
因为AB?BC，
所以O是AC中点， ???????3分
所以OE//PA ???????4分 同理OF//AD
又OE?OF?O,PA?AD?A
所以平面OEF//平面PDA ???????6分
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（II）因为OF//AD，AD?CD
所以OF?CD ???????7分 又PO?平面ADC，CD?平面ADC
所以PO?CD ???????8分 又OF?PO?O
所以CD?平面POF ???????10分 (III)存在，事实上记点E为M即可 ???????11分 因为CD?平面POF，PF?平面POF 所以CD?PF
1PC ???????12分 21 同理，在直角三角形POC中，EP?EC?OE?PC， ???????13分
2 又E为PC中点，所以 EF?所以点E到四个点P,O,C,F的距离相等 ???????14分
18.解：（I）当因为a?1, f'(x)?11,g(x)?2 ???????2分 xx 若函数f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线与函数g(x)在点P(x0,g(x0))
处的切线平行，
11?所以，解得x0?1 x0x02此时f(x)在点M(1,0)处的切线为y?x?1
g(x)在点P(1,?1) 处的切线为y?x?2
所以x0?1 ???????4分
（II）若?x?(0,e]，都有f(x)?g(x)? 记F(x)?f(x)?g(x)?3 23a3?lnx??， 2x2只要F(x)在(0,e]上的最小值大于等于0
1ax?a??2 ???????6分 xx2x 则F'(x),F(x)随x的变化情况如下表：
F'(x)?x (0,a) a (a,??) - 7 -
F'(x) F(x) ? 0 极大值 ? ? ? ???????8分 当a?e时，函数F(x)在(0,e)上单调递减，F(e)为最小值
所以F(e)?1?a3e??0，得a? e22所以a?e ???????10分 当a?e时，函数F(x)在(0,a)上单调递减，在(a,e)上单调递增 ，
F(a)为最小值，所以F(a)?lna?a3??0，得a?e a2所以e?a?e ??????12分 综上，e?a ??????13分
x2y219.解：(I)因为椭圆C:2?2?1(a?b?0)的四个顶点恰好是一边长为2，
ab一内角为60? 的菱形的四个顶点, 所
以
a?3b?,,1椭圆C的方程为
x2?y2?1 ??????4分 3(II)设A(x1,y1),则B(?x1,?y1),
当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线就是y轴，
y轴与直线l:x?y?3?0的交点为P(0,3),
又因为|AB|?3,|PO|?3，所以?PAO?60?，
所以?PAB是等边三角形,所以直线AB的方程为y?0 ??????6分 当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB的方程为y?kx
?x22??y?122所以?3，化简得(3k?1)x?3
?y?kx?333k2?32所以 |x1|?，则|AO|?1?k ??????8分 ?223k2?13k?13k?1- 8 -
设AB的垂直平分线为y??x，它与直线l:x?y?3?0的交点记为P(x0,y0)
1k3k??y??x?3x????0k?1所以?, 1，解得?y??x?3??y?k?0?k?1?9k2?9则|PO|? ??????10分
(k?1)2因为?PAB为等边三角形， 所以应有|PO|?3|AO|
9k2?93k2?3代入得到|，解得k?0（舍），k??1?????13分 ?3(k?1)23k2?1此时直线AB的方程为y??x
综上，直线AB的方程为y??x或y?0 ??????14分
20.解：（I）
法1：
法2：
123?712371237改变第4列改变第2行????????????
?2101?210?12?101123?7123?71237改变第2行改变第4列????????????
?21012?10?12?101法3：
123?7?123?7?1237改变第1列改变第4列????????????
?21012101210?1（写出一种即
可） ???????3分
(II) 每一列所有数之和分别为2，0，?2，0，每一行所有数之和分别为?1，1; ①如果操作第三列，则
aa2?1a?a2
2?a1?a22?aa2则第一行之和为2a?1，第二行之和为5?2a，
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?2a?1?0 ?,解得a?1,a?2. ???????6分
5?2a?0? ② 如果操作第一行
?a1?a2
2?a1?a2aa2
a?2a2则每一列之和分别为2?2a，2?2a2，2a?2，2a2
解得a?1 ???????9分
综上a?1 ???????10分 (III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和） 由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得 数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1?(?1)?2，但是每次操作都只 是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于??|aij|，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止
i?1j?1mn之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 ???????13分
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