自然之秘——数学与自然
人类识自然，探索穷研，花明柳暗别有天。 谲诡神奇满目是，气象万千。
往事几百年，祖述前贤，瑕疵讹谬犹盈篇。 蜂房秘奥未全揭，待咱向前。
这是我国著名数学家华罗庚先生于1964年写的词《自然奥秘》，说的是神奇的自然界包含了无穷的奥秘，很多还有待于人类去探索。你有没有观察过一片叶子，对它能精确地分成两半而表示惊奇？你有没有注意到各种花的花瓣形成完美的星型？你有没有注意到某些贝壳和松果的螺旋形生长模式？?? 面对奇迹纷呈的自然界，大多数人并未察觉这可以用数学来解释自然界中看起来很平常的事物或者现象。我们往往认为数学只是人类的专利，只有我们这些看似很聪明的人类懂得数学的奥妙，知道什么是数学，怎样运用数学原理解决某些实际问题。但是，我们不禁要问，数学真的是我们的专利吗？答案或许是否定的！ 在自然界中存在着许许多多名不见经传的“数学家”，它们可能极其渺小，但是它们的数学天赋却让我们不得不为之震惊。
通过本章节的学习，我们将带领大家一起去领悟大自然中的某些“数学家”给我们创造的奇迹，并挖掘出里面所隐含的数学概念。
2.1 生命的曲线
今天，在环境污染十分严重的城市，人们仰望星空，所能见到的星星已经很少了。但如果时光倒流几千年，美索不达米亚平原上的天文爱好者在宁静的夏夜里仰望浩瀚苍穹，他们能看到什么呢？在满天星斗中，螺线形星云赫然在目！
螺线状星云M51 英国艺术家A. C. Stewart的作品：螺线星云
用数学语言来说，螺线指的就是在平面极坐系中，如果极径ρ随极角θ的增加而成比例增加（或减少），这样的动点所形成的轨迹叫做螺线。螺线是出现在自然界中许多场所的数学形式，它既是一种迷人的数学对象，又触及我们生活的许多领域，比如螺丝钉、电磁波天线等等，而且它还是一种与生命相关的极为普遍的数学形态，有人曾把它誉为“生命的曲线”。螺线的类型
几乎与它在自然界和生活中出现的频数一样多，有平坦 热带气旋
螺线、三维螺线、右旋和左旋螺线、等角螺线、双曲螺线、对数螺线、阿基米德螺线等等。当人们想到曲线时，最常浮现在脑海的可能是圆或者椭圆，但还有一些曲线也大量存在于数学里或出现在自然界及自然现象的生成图案中，螺线便属于这种范畴。
世间万物，各有其性，以植物而言，枝蔓茎干绝大多数都是直向生长的，而有一些植物却是盘旋生长的。例如，蔓生植物牵牛花需要缠绕在其它直立的植物或者支架上生长。仔细观察，我们不难发现，它缠绕的路径正好是螺线形式，而这种螺线就是圆柱螺线。怎样得到这样一个直观的圆柱螺线呢？大家不妨动手试试看！取一张长方形的纸片，画出其对角线，然后把纸卷成圆柱形，这时，刚刚画出的对角线就形成了圆柱面上的一条曲线，这条曲线是一种三维螺旋线，说得更确切的话就是圆柱螺线。如果大家有机会能目睹松鼠绕着树往上爬走的路线的话，我们会发现它的爬走轨迹也是圆柱螺线。
牵牛花 松鼠
牵牛花藤蔓是用最短的距离缠绕在支架上生长的，而松鼠在爬树的过程中，所选择的路径也是最短的。这样一来，我们不禁要问了，为什么它们会选择这样的螺线形式呢？其中隐含着一定的数学知识，因为圆柱螺线是圆柱面上最短的路径。当我们把圆柱面沿着一条直线剪开并展开成一个平面时，构成圆柱螺线的这些点就会落在一条直线上，通过上面得到圆
柱螺线的过程，这一点是很容易理解的。而我们知道两点之间线段最短，因此，圆柱面上不在一条母线、也不在垂直于母线的圆上的两点P和Q，以通过P和Q的螺线距离最短。所以，我们可以知道牵牛花的藤蔓是用最短的距离缠绕在其它树枝上生长的，而松鼠在爬树的过程中，所选择的路径也是最短的。
但是，还值得一提的是，不同的植物它缠绕的方向也是有区别的，像上面所说的牵牛花，它缠绕其它植物或支架的方向是从右向左旋的，如果人为地将其缠成左旋，它生出新藤后仍然不会改变其右旋特性。数学上把这样旋转的螺线称为右旋螺线。当然有右旋螺线，就会对应的有左旋螺线，即旋转方向自左向右形成的螺线，比如说五味子。令人惊奇的是，还有极少数的植物藤蔓的螺旋方式是左右兼有的，比如葡萄就是靠卷须缠住树枝攀援而上，它的方向忽左忽右，
既没有规律也没有定式。英国著名科学家科克曾把植物的螺 五味子
旋线称为“生命的曲线”。植物的枝蔓茎干为什么会出现左右旋转生长的现象呢?一般认为，这是由于南北半球的地球引力和磁力线共同作用的结果。 1自然界中最普遍存在的螺线是对数螺线，也叫做等角螺线。等角螺线有以下几个特性：螺线切线同螺线半径所形成的角是全等的；以几何速率增大，因此任何半径被螺线分割成的0.8线段形成几何级数；长大时形状不变。其极坐标方程为r?aeb?。 0.6?f??? = ?1200?0.4?e4000.210.50.510.20.4 对数螺线 如果想要得到这样一个优美的对数螺线，我们也可以自己动手做做看，在一根绳子的一0.60.8端拴住一个石子，将整段绳子缠绕在石子上，在头顶上方旋转挥舞，让绳子慢慢松开，绳子的长度不断增加，它增加的长度与石子转过的角度会成正比，此时，石子运动的轨迹就是一条对数螺线。
我们下面不妨来看看自然界中的对数螺线吧！ 这是一叶载着珍珠的小舟， 行驶在万里无云的汪洋。 这爱冒险的小舟飞驰前方， 在甜蜜的夏日展开紫色的翅膀。 她沉醉于迷人的海湾， 那里有塞壬的歌声悠扬； 碧波中的珊瑚礁熠熠生光， 美人鱼离开水府的闺房， 飘散着长长的秀发，
沐浴着暖暖的骄阳。 O. W. Holmes
这是美国诗人福尔摩斯（O. W. Holmes, 1809～1894）吟咏鹦鹉螺的诗句。鹦鹉螺之吸引诗人，并激起他的丰富的想象，在于螺壳独特的形状——一条等角螺线。也许正是这神奇的形状，让苏格兰博物学家和数学家汤普森（D’Arcy Thompson, 1860～1948）语出惊人：地球上所有动物和植物只有通过数学才能理解！
鹦鹉螺 汤普森与鹦鹉螺壳
那么，为什么鹦鹉螺身上的纹路会是对数螺线呢？这是因为这种动物的发育模式与拴在绳子上转动的石头相似，它们在生长过程中，螺壳每转过一定角度，螺身也按特定的比例发育。
马达加斯加总统拉齐拉卡于1985年赠国家主席 李先念的鹦鹉螺化石（菊石），重15kg。
实际上，许多贝壳动物身上都有这种曲线。此外，象鼻、羊角、鹦鹉的爪子等也都成等角螺线形。圆网蛛也能织出这种曲线。
圆网蛛
自然界到处都是这样出色的数学天才。向日葵、菠萝、松果、雏菊等植物花果中都有这种曲线。法国著名昆虫学家法布尔曾经说过：“几何，以及面积上的和谐，支配着一切。几何存在于松果鳞片的布置中，也存在与圆网蛛的黏胶丝上；蜗牛的螺旋上升斜线里有几何，蜘蛛网的念珠里有几何，行星轨道里也有几何；几何到处存在，不管在原子世界里还是在无限辽阔的宇宙中，几何都是非常高明的！”
法布尔