蜗牛 向日葵 松果
对数螺线最早是由笛卡尔1638年引进的，后来许多数学家又做了研究，尤其是瑞士的数学家雅各·贝努利（Jacob Bernoulli, 1654～1705）曾经深入地探讨过。雅各发现对数螺线这条奇妙的曲线在经过诸多数学变换后仍然还是对数螺线。比如，不管把对数螺线怎样放大或者缩小，结果总是得到对数螺线，对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。这些变换会把一般的曲线变得面目全非，但是，对于对数螺线来说，形状仍然不会变，仅仅是位置有所改变。贝努利对这些有趣的性质惊叹不已，最后竟在他的遗嘱里面吩咐到：要把对数螺线刻在自己的墓碑上，并且还要附上一句一语双关的美妙颂词：Eademmutata resurgo（虽然改变了，我还是和原来一样！）。但是遗憾的是，贝努利的愿望并没有实现，因为刻碑人技术不够高明，刻出来的曲线又像阿基米德螺线，又像圆的渐伸线，但显然不是对数螺线，因为圈与圈之间的距离没有越转越大。
雅各〃伯努利 伯努利的墓碑
2.2 蜜蜂的智慧
圆网蛛没有学过对数螺线，但却能织出优美的对数螺线；同样，蜜蜂也没有学过镶嵌理论，却能造出完美的蜂房！对此，我们不得不为之感到惊讶！伟大的生物学家达尔文曾经说
过这样一句话：“蜂房的精巧构造十分符合需要，如果一个人看到蜂房而不倍加赞赏的话，那他一定是个糊涂虫。”
蜜蜂制造蜂房遵循最大值和最小值原理
早在公元3世纪末，希腊数学家帕普斯（Pappus）在《数学汇编》第5卷序言中这样写道：
“尽管上帝赋予了人类最好的、最完美的智慧和数学的理解力，但他同时也把一部分分配给某些没有理智的动物。对于赋予了理性的人类，他认为他们理所当然应该按照理性和证明来做每一件事情；但对于别的没有理性的动物，他只给予了这样的天赋：他们中的每一个应该按照某种自然的考虑，去获得维持生命所必需的东西。尽管我们可以观察到许多种动物都有这种本能，但在蜜蜂身上，这种本能尤其引人注目。它们的竟井然秩序，它们对于管理着它们共同财富的蜂王的俯首听命，的确十分令人钦佩；但更令人钦佩的是它们采蜜时的争先恐后和一尘不染，以及保护蜂蜜的深谋远虑和良苦用心。无疑，它们相信自己身负重任，要从神那里把一份美食带给更有文化的人类，它们认为，不小心把美食倒在地上或木头上或任何其他不适宜的和不规则的材料上是不对的，它们
蜜蜂采集最甜蜜的花朵上最洁净的部分
采集地球上最甜蜜的花朵上最洁净的部分，用它们建造容器，贮藏蜂蜜。这种容器名叫蜂房，其中每一个单元都是相等的、相似的、相连的，形状为六边形。
我们可以推断：它们是按照某种几何思想来构造蜂房的。它们必定认为，所有图形【即蜂房中的单元】都必须彼此相连、并具有公共边，才能确保没有别的东西落入空隙，弄脏了它们的作品。……由于绕同一点只有正三角形、正方形和正六边形这三种图形能填满空间，蜜蜂以其智慧选择了具有最多的角的那种，因为它们知道它比另外两种图形能装更多的蜜。”
以色列莱霍夫地区发现的三千年前的蜂窝 纸蜂窝
那么，蜜蜂只是知道这个对它们有用的事实，即花费同样的材料建造蜂巢时，正六边形比正三角形和正方形蜂巢大，从而可以储存更多的蜂蜜。但是自认为在智慧方面比蜜蜂更胜一筹的我们将研究范围稍微广泛一些的问题，即周长相等的等边等角的平面图形中，角越多的面积越大，其中面积最大的是具有相同周长的圆。
我们不妨从蜂房的正面看，如右图所示的是蜂窝，它们都是排列整齐的正六边形。我们也知道正三角形、正方形和正六边形是仅有的三种自镶嵌多边形。而对于给定面积来说，正六边形的周长是最小的。这也就意味着，蜜蜂在建造蜂房的六角柱巢室时，用正六边形的话，可以用同样的原材料，建造出比正三角形、
正方形具有更大的面积，从而储存更多的蜂蜜。 蜂 房
??? =109?29'
但是，蜂房的奇妙之处不仅仅只在于正六边形的巧妙运用。进一步观察，会发现，每一个储藏室都是一个六棱柱。这些六棱柱的背面，同样有许多形状相同的小洞。换句话说，整个立体的蜂房背面具有左右两侧的储藏室。如果一组洞的开口朝南，那么另一组洞的开口就朝北。这两组洞彼此不相通，中间用蜡板隔开。这些隔板是由大小相同的菱形所组成的，如图所示。1712年，法国科学家马拉尔迪在他的《蜜蜂的观察和研究》中指出了蜂巢底部的这种菱形结构，并测得菱形的钝角为109?28′，锐角为70?32′。蜂房为什么会有这样奇特的构造呢？法国科学家雷奥米尔作了这样的一个猜想：用这样的角度构造出来的蜂房，在相同容积下，它的表面积是最小的，因此可以用更少的原材料构造出容积最大的储存室。因此，雷奥米尔还专门请教了一位瑞士的数学家柯尼希：怎样用三个完全一样的菱形为顶部来把这样的六棱柱完全封盖起来，并且要使该六棱柱在体积相同的情况下，表面积是最小的。柯尼尔通过计算得到的结果是：菱形钝角的度数为109?26′，锐角为70?34′。与前面马拉尔迪的数值有两分的差距。柯尼希甚至说蜜蜂超出古典几何范围，解决了属于牛顿、莱布尼茨微积分的问题。
有趣的蜂房问题一直吸引着大批的爱好者，到了1743年，苏格兰数学家麦克劳林又重新研究了蜂房的形状，得到了一个更为惊人的结果。他用初等几何的方法得到的菱形角度正好和猜想的完全一致，并没有出现两分之差。而柯尼希两分的差值，不是源于蜜蜂的不准确，而是柯尼希本人的计算错误。因此，“蜜蜂正确而数学家错误”的说法便流传开来。但后来人们发现，柯尼希其实并没有算错，但他所用的数学表有误。
蜜蜂为什么会选出这样的角度来建造它们的蜂房？帕普斯认为构造六角形的巢室出于一种“几何的深谋远虑”。后来，达尔文把蜜蜂的建筑才能称为“在已知的本能中最为奇特
的一种”，并且补充说：“是自然选择使其建筑技术臻于最完美的境地。因为就我们所知，蜜蜂的巢室在节省劳力和蜂蜡这两方面都是尽善尽美的。”