《光的衍射》计算题
1. 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两秏波长?1和?2，垂直入射于单缝上．假如
?1的第一级衍射极小与?2的第二级衍射极小相重合，试问 (1) 这两种波长之间有何关系？
(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？ 解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得 asin?1?1?1 asin?2?2?2 由题意可知 ?1??2 , sin?1?sin?2
代入上式可得
?1?2?2 3分 (2) asin?1?k1?1?2k1?2 (k1 = 1, 2, ……) sin?1?2k1?2/a
asin?2?k2?2 (k2 = 1, 2, ……) sin?2?k2?2/a
若k2 = 2k1，则?1 = ?2，即?1的任一k1级极小都有?2的2k1级极小与之重合． 2分
-2. 波长为600 nm (1 nm=109 m)的单色光垂直入射到宽度为a=0.10 mm的单缝上，观察夫琅
禾费衍射图样，透镜焦距f=1.0 m，屏在透镜的焦平面处．求： (1) 中央衍射明条纹的宽度? x0；
(2) 第二级暗纹离透镜焦点的距离x2 ． 解：(1) 对于第一级暗纹，有a sin? 1≈?
因? 1很小，故 tg?? 1≈sin? 1 = ? / a
故中央明纹宽度 ? ?x0 = 2f tg?? 1=2f? / a = 1.2 cm 3分 (2) 对于第二级暗纹，有 a sin? 2≈2?
x2 = f tg?? 2≈f sin?? 2 =2f ? / a = 1.2 cm 2分
3. 在用钠光(?=589.3 nm)做光源进行的单缝夫琅禾费衍射实验中，单缝宽度a=0.5 mm，透镜焦距f=700 mm．求透镜焦平面上中央明条纹的宽度．(1nm=10?9m)
解： a sin? = ? 2分
x1?ftg??fsin??f?/a= 0.825 mm 2分
?x =2x1=1.65 mm 1分
4. 某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a = 0.15 mm．缝后放一个焦距f = 400 mm的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0 mm，求入射光的波长．
解：设第三级暗纹在?3方向上，则有
a sin?3 = 3???????????????
此暗纹到中心的距离为 x3 = f tg?3 2分
因为?3很小，可认为tg?3≈sin?3，所以
x3≈3f ? / a ．
两侧第三级暗纹的距离是 2 x3 = 6f ? / a = 8.0mm
∴ ? = (2x3) a / 6f 2分 ? = 500 nm 1分
5. 用波长?=632.8 nm(1nm=10?9m)的平行光垂直照射单缝，缝宽a=0.15 mm，缝后用凸透镜把衍射光会聚在焦平面上，测得第二级与第三级暗条纹之间的距离为1.7 mm，求此透镜的焦距．
解：第二级与第三级暗纹之间的距离
?x = x3 –x2≈f ? / a． 2分 ∴ f ≈a ?x / ?=400 mm 3分
6. (1) 在单缝夫琅禾费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，?1=400 nm，??=760 nm (1
--nm=109 m)．已知单缝宽度a=1.0×102 cm，透镜焦距f=50 cm．求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离．
-(2) 若用光栅常数d=1.0×103 cm的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离．
解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知
1?2k?1??1?3?1 (取k＝1 ) 1分 2213 asin?2??2k?1??2??2 1分
22 tg?1?x1/f , tg?2?x2/f 由于 sin?1?tg?1 , sin?2?tg?2
3所以 x1?f?1/a 1分
23 x2?f?2/a 1分
2 asin?1?则两个第一级明纹之间距为
?x?x2?x1? (2) 由光栅衍射主极大的公式 dsin?1?k?1?1?1 且有
3f??/a=0.27 cm 2分 2
dsin?2?k?2?1?2 2分
sin??tg??x/f
所以 ? ?x?x2?x1?f??/d=1.8 cm 2分
7. 一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，?1=440 nm，?2=660 nm (1 nm
-9
= 10 m)．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角?=60°的方向上．求此光栅的光栅常数d．
解：由光栅衍射主极大公式得 dsin?1?k1?1 dsin?2?k2?2
sin?1k1?1k1?4402k1 4分 ???sin?2k2?2k2?6603k2当两谱线重合时有 ?1=??2 1分
即
k1369．．．．．． 1分 ??? ．
k2246两谱线第二次重合即是
由光栅公式可知d sin60°=6?1
d?k16?， k1=6， k2=4 2分 k246?1-3
=3.05×10 mm 2分 ?sin60
8. 一束具有两种波长?1和?2的平行光垂直照射到一衍射光栅上，测得波长?1的第三级主极
-大衍射角和?2的第四级主极大衍射角均为30°．已知?1=560 nm (1 nm= 109 m)，试求: (1) 光栅常数a＋b
(2) 波长?2
解：(1) 由光栅衍射主极大公式得 ?a?b?sin30?3?1
?3?1?3.36?10?4cm 3分 ?sin30 (2) ?a?b?sin30??4?2
a?b?
?2??a?b?sin30?/4?420nm 2分
9. 用含有两种波长?=600 nm和???500 nm (1 nm=109 m)的复色光垂直入射到每毫米有200 条刻痕的光栅上，光栅后面置一焦距为f=50 cm的凸透镜，在透镜焦平面处置一屏幕，求以上两种波长光的第一级谱线的间距?x．
解：对于第一级谱线，有：
x1 = f tg? 1， sin? 1= ? / d 1分 ∵ sin? ≈tg? ∴ x1 = f tg? 1≈f ? / d 2分
?和?＇两种波长光的第一级谱线之间的距离 ? ?x = x1 –x1＇= f (tg?? 1 – tg? 1＇)
= f (?－?＇) / d=1 cm 2分
-10. 以波长400 nm─760 nm (1 nm＝109 m)的白光垂直照射在光栅上，在它的衍射光谱中，第二级和第三级发生重叠，求第二级光谱被重叠的波长范围．
解：令第三级光谱中?=400 nm的光与第二级光谱中波长为???的光对应的衍射角都为?， 则 d sin??=3?，d sin??=2??
-
3??= (d sin? / )2=??600nm 4分
2∴第二级光谱被重叠的波长范围是 600 nm----760 nm 1分
11. 氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上，测得波长??=0.668 ?m的谱线的衍射角为
?=20°．如果在同样?角处出现波长?2=0.447 ?m的更高级次的谱线，那么光栅常数最小是多少？
解：由光栅公式得
sin?= k1?? 1 / (a+b) = k2?? 2 / (a+b)
k1?? 1 = k2?? 2
将k2?? k1约化为整数比k2?? k1=3 / 2=6 / 4=12 / 8 ......
k2?? k1 = ? 1/?? 2=0.668 / 0.447 3分 取最小的k1和k2?， k1=2，k2?=3， 3分 则对应的光栅常数(a + b) = k1?? 1 / sin? =3.92 ?m 2分
12. 用钠光(?=589.3 nm)垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60°． (1) 若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为30°，求后一光源发光的波长．
(2) 若以白光(400 nm－760 nm) 照射在该光栅上，求其第二级光谱的张角．
-(1 nm= 109 m)
解：(1) ?????(a + b) sin? = 3???????
a + b =3? / sin? ， ?=60° 2分 a + b =2?'/sin?? ??=30° 1分
3? / sin? =2?'/sin?? 1分 ? ?'=510.3 nm 1分 (2) ? (a + b) =3? / sin? =2041.4 nm 2分
?=sin-1(2×400 / 2041.4) (?=400nm) 1分 ?2??=sin-1(2×760 / 2041.4) (?=760nm) 1分 ?2????2?= 25°白光第二级光谱的张角 ?? = ?2 1分
13.某种单色光垂直入射到每厘米有8000条刻线的光栅上，如果第一级谱线的衍射角为 30°那么入射光的波长是多少？能不能观察到第二级谱线？
解：由光栅公式 (a＋b)sin? =k? k =1， ??=30°，sin??=1 / 2
∴ ??=(a＋b)sin??/ k =625 nm 3分 实际观察不到第二级谱线 2分
若k =2, 则 sin??=2? / (a + b) = 1, ?2=90°
-14. 用波长为589.3 nm (1 nm = 109 m)的钠黄光垂直入射在每毫米有500 条缝的光栅上，求第一级主极大的衍射角.
解： d=1 / 500 mm，?=589.3 nm，
-1
∴ sin??=??? d=0.295 ??=sin0.295=17.1° 3分 第一级衍射主极大： d sin??= ? 2分
15. 一块每毫米500条缝的光栅，用钠黄光正入射，观察衍射光谱．钠黄光包含两条谱线，
-9
其波长分别为589.6 nm和589.0 nm．(1nm=10m)求在第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度．
解：光栅公式， d sin??=k?．
-3
现 d=1 / 500 mm=2×10 mm，?1=589.6 nm，?2=589.0 nm，k=2．
∴ sin?1=k?1 / d=0.5896， ?1=36.129° 2分
sin?2=k?2 / d=0.5890， ?2=36.086° 2分 ??=?1－?2=0.043° 1分
16.波长范围在450～650 nm之间的复色平行光垂直照射在每厘米有5000条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为35.1 cm．求透镜
-的焦距f． (1 nm=109 m)
解：光栅常数 d = 1m / (5×105) = 2 ×10?5m．
2分
设 ?1 = 450nm， ?2 = 650nm, 则据光栅方程，?1和?2的第2级谱线有
dsin? 1 =2?1； dsin? 2=2?2
据上式得： ? 1 =sin?12?1/d＝26.74°
? 2 = sin?12?2 /d＝40.54° 3分
第2级光谱的宽度 x2 ??x1 = f (tg? 2?tg? 1)
∴ 透镜的焦距 f = (x1 ? x2) / (tg? 2 ??tg? 1) ＝100 cm． 3分
17.设光栅平面和透镜都与屏幕平行，在平面透射光栅上每厘米有5000条刻线，用它来观察钠黄光（?=589 nm）的光谱线．
(1)当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次km是
多少？ (2)当光线以30°的入射角（入射线与光栅平面的法线的夹角）斜入
? 是多少？ (1nm=10?9m) 射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次km
解：光栅常数d=2×10 m 1分
(1) 垂直入射时，设能看到的光谱线的最高级次为km，则据光栅方程有
dsin??= km?
∵ sin??≤１ ∴ km? / d ≤1 ， ∴ km≤d / ?=3.39
∵ km为整数,有 km=3 4分
?，则据斜入射时的光栅方程有 (2) 斜入射时，设能看到的光谱线的最高级次为km-6
?? dsin30??sin???km1??/d ?sin???km2??/d?1.5 ∵ sin?＇≤1 ∴ km??1.5d/?=5.09 ∴ km?为整数，有 km?=5 5分 ∵ km
??
18. 一双缝，缝距d=0.40 mm，两缝宽度都是a=0.080 mm，用波长为?=480 nm (1 nm = 10-9 m) 的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f =2.0 m的透镜求： (1) 在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距l；
(2) 在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目N和相应的级数．
解：双缝干涉条纹：
(1) 第k级亮纹条件： d sin??=k?
第k级亮条纹位置：xk = f tg??≈f sin??≈kf? / d
相邻两亮纹的间距：?x = xk+1－xk=(k＋1)f? / d－kf? / d=f? / d
=2.4×10-3 m=2.4 mm (2) 单缝衍射第一暗纹： a sin?1 = ?
单缝衍射中央亮纹半宽度：??x0 = f tg?1≈f sin?1 ≈f? / a＝12 mm ?x0?/??x =5
∴ 双缝干涉第±5极主级大缺级． ∴ 在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9 分别为 k = 0，±1，±2，±3，±4级亮纹 或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第±5级主大，同样得该结论的3分．
5分
3分 1分 1分