概率论与数理统计
A
1 2
题号 一 二 三 总分 统分人 3. 设随机变量X与Y的方差满足D?X??25,D?Y??36,D(X?Y)?85，
题分 22 18 60 100 则相关系数?XY? ( )
得分 (A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.5 一、填空题（每空2分，共22分） 得分| |阅卷人| 4. 设D是由直线y?x,y?0和x?2围成的平面区域，二维随机变量(X,Y)1. 设
A,B,C是三个事件，则A,B,C至少有一个发生表示为 .
在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?1处的值为
2. 设甲、乙两人独立对目标进行射击，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中
( )
的概率为 ，若目标已经被击中，则是甲击中的概率为 . (A)
12 (B) 13 (C)114 (D)5 3. 设X~N(2,?2),且P{2?X?4}?0.3，则P{X?0}?________.
5. 设X21,X2,...Xn是正态总体X~N(?,?)的样本,其中?已知,?未知,则
4. 设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 下列不是统计量的是( )
（X,Y） (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) nXk P 1/6 1/9 1/18 1/3 ? ? (A) max1?k?nXk (B) min1?k?nXk (C)X?? (D)
?k?1?
且X和Y相互独立，则?＝_______，?＝________. 6. 设随机变量
(X,Y)满足方差D(X?Y)?D(X?Y)，则必有(
)
5. 若X~b(n,p)，且E(X)?1.6,D(X)?1.28，则n? ，p? _ . 6. 设
X~N(10,3),Y~N(1,2)(A)X与Y独立 (B)X与Y不相关
，且X和Y相互独立，则
(C)X与Y不独立 (D) D(X)?0或D(Y)?0
D(3X?2Y)? . 三、计算题（每题10分，共60分） 得分| |阅卷人| 7. 设X~N(?,4)，容量n?9，均值X?4.2，则未知参数?的置信度0.95
1. 有三个盒子，第一个盒子中有2个黑球，4个白球，第二个盒子中有4个黑球，2
的置信区间为_________. (查表Z0.025?1.96)
个白球，第三个盒子中有3个黑球，3个白球.今从3个盒子中任取一个盒子，8. 设
X2再从中任取1球.
1,X2,X3是来自正态总体X~N(?,?)的样本,则当a? ，
(1) 求此球是白球的概率；
???13X1(2) 若已知取得的为白球，求此球是从第一个盒子中取出的概率. 1?2X2?aX3是总体均值?的无偏估计.
二、选择题（每题3分，共18分） 得分| |阅卷人| 1. 设事件
A与B互斥，P(A)?0,P(B)?0, 则下列结论中一定成立的有( )
(
A) A与B互不相容 (B)
A,B为对立事件
(C)A与B相互独立 (D) A与B不独立
X~N(1,1)
2.设
，概率密度为
f(x)，分布函数为
F(x)，则有(
)
(A)P{X?1}?P{X?1} (B)P{X?0}?P{X?0}
(C)f(?x)?f(x) (D) F(?x)?1?F(x)
2 2
概率论与数理统计
A
f(x)?Ae?x
2. 设随机变量X的概率密度为
，求 (1)
A值； (2)X的分布
函数F(x)；(3)X落在区间(?1,1)内的概率.
?x,0?x?1 5. 设随机变量X具有密度函数f(x)???2?x,1?x?2，求E(X)及D(X).
??0,其他
3. 设(X,Y)的联合密度函数为
f(x,y)???Ay(1?x),0?x?1,0?y?x ?0,其他， 求 (1)常数A; (2) 边缘概率密度; (3) X和Y是否独立？
?1(6. 设总体
X的概率密度为
f(x;?)?? ??x1??)/?,0?x?1 ，??0，
? ?0,其他 XX 1,X2,...,n是取自总体X的样本。（1）求?的最大似然估计量??。（2）证明
??是?的无偏估计量。
4.设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
?1,0?x?e?y,y?0 f?1X(x)??0,，fY(y)?? ?其他?0,其他 求随机变量Z?X?Y的概率密度。
《概率论与数理统计》试卷A标准答案
一、填空题（每空2分，共28分）
2. （1）由?????f(x)dx?1，得
1.A?B?C 2. 0.8，0.75 3．0.2
，
4. 2/9, 1/9 5. 80,0.2
?0x????Aedx??0Ae?xdx?2A?1 6. 35 7.(2.89,5.51) 8.16 A?12 ??????3分 二、选择题（每题2分，共12分） （2） 1. D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.B F(x)??x??f(t)dt
三、计算题（每题10分，共60分）
?x11. 设事件A为“取到白球”，Betdt?1ex,1,B2,B3分别表示：取到第一个盒子、 ??第二个盒子和第三个盒子”. ????22x?0?01 ??????7 （
1）
????2etdt??x102e?tdt?1?1?x2e,x?03分
P(A)??P(Bi)P(ABi) ???????
（
3
）
i?12分
P{?1?x?1}?F(1)?F(?1)?1?e?1 ??????10分
3.
(1)
由
??????????f(x,y)dxdy?1，
?13?46?13?26?13?36 ???????4分 得 ???????1分
?1x110dx?0Ay(1?x)dy?A?0?12x2(1?x)dx?A24?1， 2 ???????5分 得
（
2
）
C?24 ???????3分
??P(BP(AB1)fX(x)????f(x,y)dy
1A)?P(B1)P(A) ???????7分
1?
4
???3?x24y(1?x)dy?12x16?4
?29 ?????
??0(1?x),0?x?1 ????0,其他2
??6分
??10分
f??2Y(y)??????f(x,y)dx
E(X2)????xf(x)dx
?????1=
y24y(1?x)dx?12y(1?y)2,0?y?1?1x3dx220??1x(2?x)dx=76 ?????8分 ? ?????9分 ?0,其他D(X)?E(X2)?[E(X)]2?1 由于f(x,y)?f6 ??
X(x)fY(y)，因此X和Y不是相互独立???10分
的. ????10分 6. 设x1,x2,...,xn是相应于X1,X2,...,Xn的一个样本
4． fZ(z)?????fX(x)fY(z?x)dx 值 ?????
1分 由
?n?0?x?1 似然函数?z?x?0，得
L(?)??f(xi;?)
i?1?
?0?x?1 ?x?z???????3分 ?1n???x(1??)/?i,0?xi?1 原
式
=
??
??n?i?1?z?0,其他?e?(z?x)dx,0?z?1??0?1?e?z,0?z?1???2分
?1e?(z?x)dx,z?1=?
??0?e?z(e?1),z?1 ???????10分 ?0,其他?0,其他??lnL??nln??（1??n5.
?)?lnxi ?????3分
i?1E(X)????xf(x)dx ?????
??n1分
dlnLn1d??????2?lnxi ?????4分
i?1=
?1x2dx??201x(2?x)dx?1 ??
n???4分
解得 ????1n?lnxi i?1
因此?的最大似然估计量 一．随机事件与概率
１．五卷文集按任意次序排列到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端??n??1n?lnXi. ?????6分 的概率为 （
1i?110） 2. 若A?B，则A?B是 （B） 因
为
E(lnX)??10lnx1?x(1??)/????， ?????8
3. 事件Ａ、Ｂ、Ｃ至少有一个不发生可表示为 （A?B?C ） 分
n E(??)?E(?1lnX)?? 4. 设A,B为两个独立事件，P(A)?0.7，0?P(B)?1，求P(A|B)n?ii?1（ 0.3 ）
可
知
??是
?的
无
偏
估
计
5． 某射手射击时，中靶的概率为34，若射击直到中靶为止，求射击次量。 ?????10分 数为３的概率？（ (1)2?3 44 ） 5．设A?B，P(A)?0.2，P(B)?0.3，求P(AB). 解：P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(A)?0.1
6．某射手每次射击击中目标的概率为p，连续向同一目标射击，直到某 一次击中目标为止，求射击次数X的分布律
解 在进行射击之前，无法知道射手在第几次射击时击中目标，因 此射击次数X是离散型随机变量，显然，X的可能取值为1,2,?，即一 切正整数，而：
P{X?k}?(1?p)k?1p k?1,2,? 上式即为X的分布律。
7. 某工厂生产的100个产品中有5件次品, 检查产品质量时, 在产品中
取一半来检查, 如果发现次品不多于一个, 则这批产品可以认为是合格的。求这批产品被认为是合格的概率。