解：按题意，每批100个产品中应有5个次品，95个合格品．设事（2）易知
P(A)?0.6，
P(B)?0.5，由
件A表示检查的50个产品中次品不多于1个，它可以看作两个互不相容事件之和：
P(AB)?P(B)P(AB)?0.4?P(A)?P(AB)，可得P(AB)?0.2，
A?A0?A1
从而
其中A0表示检查的50个产品中没有次品， 而A1表示有1个次品．因为 ：
P(A|B)?P(AB)P(B)?0.20.5?0.4。
P(AC5095
0)?C50?0.028
10010. 某地有甲乙丙三种报纸，25%读甲报，20%读乙报，16%读丙报，10%1兼读甲乙两报，5%读甲丙两报，4%读乙丙两报，2%读甲乙丙三报，求： P(ACC495951)?（1）只读甲报所占比例；
C50?0.15 3100（2）至少读一种报纸所占比例。
所以P(A)?P(A0)?P(A1)?0.181
解 设读甲、乙、丙三种报纸的事件分别为：A,B,C，由已知条件，有
P(A)?0.25，P(B)?0.20，P(C)?0.16，P(AB)?0.10，
8．设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，P(AC)?0.05，P(BC)?0.04，P(ABC)?0.02，从而有
今在3000个男人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的（1）P(ABC)?P(A(B?C))?P(A)?P(A(B?C))
概率。
?P(A)??P(AB?AC)??P(A)??P(AB)?P(AC)?P(ABC)?解 A?{抽到的一人为男人}，B?{抽到的一人为
色盲者}，则
?0.25??0.10?0.05?0.02??0.12
（2）
P?A??3，P?BA??5?1，PA?2(A?B?C)510020??P5，
?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) P?BA??25?0.25?0.20?0.16??0.1?0.05?0.04??0.02?0.44.
10000?1400
于是，由全概率公式，有
P?B??P?A?P?BA??P?A?P?BA?二．一维随机变量?31215?20?5?400?311000。
?1?(1?x)e?x1. 设随机变量X的分布函数为F(x)??x?0
?0x?0，求
P{X?1}。 （1?2e?1）
9.（1）已知P(A)?0.5，P(B)?0.6，P(B|A)?0.8，求P(A?B)。（2）P(A)?0.4，P(B)?0.5，P(A|B)?0.8，求P(A|B)。 2．已知随机变量X的密度为f(x)?解 （1）利用加法公式、乘法公式计算事件概率
??Ax,0?x?1?0,其它，求A。
P(AB)?P(B|A)?P(A)?0.4，P(A?B)?0.5?0.6?0.4?0.7。
解 由
???A次独立试验，??f(x)dx??10Axdx??1； 6．设随机变量X在[1,4]上服从均匀分布，现在对X进行32则至少有2次观察值大于2的概率为多少？
可得A?2。 ?1
解 X的概率密度为：f(x)???31?x?4。一次试验观察值大
?C??0其他３．随机变量X的概率密度为f(x)???1?x２x?1 求C。 （
1）于2的概率为：
??0其它π
P{X?2}??41223dx?3 4．若X~N(2,?2)，且P?2?X?4??0.3，求P?X?0?。
设3次独立试验观察值大于2的次数为Y，则Y~B??32??,3??，从而： 解 0.3=P?2?X?4?????4?2?????????2?2?????????2??????0.5
?2?213P{X?2}?C23?2203?故 ???2???0.8，P?X?0??????2???1????2???0.2。
?3???3?C?3??3???27。 ?????????
7．设随机变量X~N(2,σ2)，且P(2?X?4)?0.3，求P(X?0)。 ．随机变量X的概率密度为：f(x)???e?x5x?0解 根据正态分布的密度函数关于均值点的对称性，有 ?0x?0，求随机变量
P(X?0)?P(X?2)?P(0?X?2)
Y?2X?1的概率密度。
?0.5?P(2?X?4)?0.5?P(2?X?4) ?0.5?0.3?0.2
解 设y?2x?1，则y??2?0，反函数x?y?12，于是Y?2X?1
概率密度为：
8．如果函数f(x)?Ae?x，???x???，为某个随机变量的概率密
度，求A。 ?f?f?y?1?11?y?12解 因为
?y?1Y(y)??????e，故
????f(x)dx?1，而
??2?22?0y?1???0dx??????Ae?xdx????Aex0Ae?xdx?A?A?2A。
??1?y?1f2Y(y)??2ey?1。 故A?1??0y?12。
9. 已知 X 的概率分布为
X -1 0 1 2
2．设随机变量(X,Y)的密度函数为
f(x,y)???10?x?1,0?y?1?0其他，1111求概率P{X?0.5,Y?0.6}。 pk
8842解
P{ X?0.5,Y?0.6}?求 Y = X 2
的分布律. ?0.60.5?????f(x,y)dxdy??0.6dy?0.500dx?0.3
解
3．设二维随机变量(?,?)的分布函数
F?x,y???A?Barctanx??A?Barctany????1?12?A?Barctanx??A?Barctany????
(1)求常数A,B；(2)求P???0,??0?。
解 (1)令F(??,??)?(A??2B)2???1?12(A???2B)2???1 F(??,??)?(A???1??
2B)2??1?2(A?2B)2???0，得
A?12,B?1?
三．二维随机变量
(2)P???0,??0??1?P(??0)?P(??0)?P???0,??0?
??111991．若(?,?)的联合概率密度为：f(x,y)??ke?(x?y),x?0,y?0?1?F(0,??)?F(??,0)?F(0,0)?1?? 2?2?32?32 ?0 ,其它
（1）确定常数k；（2）求P(??2,??2)。
4. 两个相互独立的元件串联成一系统，元件的寿命分别为?,?，其分布解 （1）1?1??k?e?xdx??e?ydy?1函数均为
0?0k，故k?1； （
2
）
??x F?x????1?e1000,x?0P{??2,??2}??2?222?????(x,y)dxdy??0e?xdx?0e?ydy?(1?e?2)2
??0,x?0求系统的寿命短于1000小时的概率。
解 串联的两个元件至少一个损坏时，系统将停止工作，所求概率为， 解 由方差的性质，得 D(2X?3Y)?4DX?9DY?24?27?51。
p?P(??1000)?P(??1000)?P(??1000,??1000)
?F(1000)?F(1000)?[F(1000)]2?0x?05．设连续型随机变量?1?e?1?1?e?1?(1?e?12?2X的分布函数为F(x)???x30?x?1，则求)?1?e
?
?1x?1
EX。
四．随机变量的数字特征
解 随机变量X的概率密度为：f(x)?F?(x)??0?x?1，
?3x2?0其他1．设随机变量X服从参数为?的泊松（Poisson）分布，且已知
EX????11E(X?1)(X?2)?1，求? 。
??xf(x)dx??03x3dx，故?03x3dx＝３／４。
解 因EX?DX?λ，有
1?E(X2?3X?2)?DX?(EX)2?3??2??2?2??2，从而
5．设随机变量X的方差为2，求根据切比雪夫不等式有估计
??1。
P?X?E(X)?2?。
解 由切比雪夫不等式，有2．设随机变量X服从参数为 1 的指数分布，求E(X?e?2X)。
P?X?E(X)?2??D(X)2122?4?2。 解 Ee?2X????2x?x
0eedx??????03e?3xdx???/3?1/3
6．设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系从而E(X?e?2X)?1?1?4数??0.5，则根据切比雪夫不等式求P。 ?X?Y?6?。
33解 E(X?Y)?0，关键要求X?Y的方差。
D(X?Y)?cov(X?Y,X?Y)?DX?2cov(X,Y)?DY 3．设随机变量X和Y的相关系数为0.5，EX?EY?0，
EX2?EY2?2 cov(X,Y)?，求E(X?Y)2。
?DX?DY?0.51?4?1 D(X?Y)?1?2?4?3， 解 利用期望与相关系数的公式进行计算即可。因为
E(X?Y)2=EX2?2E(XY)?EY2?4?2?cov(X,Y)?EX?EY?
于是P?X?Y?6??362?112。 ?4?2?4?2?0.5?2?6
XY?DX?DY?说明：本题的核心是逆向思维，利用公式六七章．数理统计
E(XY)?cov(X,Y)?EX?EY。
1．样本(X1,X2,?,X9)取自总体X~N(0,1)，X及S分别表示样本4．设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为6和3，求随机变量
2X?3Y的方差。
均值和均方差，则XS/10?服从什么分布？
解 因为Xn1,X2?,,X9独立同分布，Xk~N(0,1)，所以
解：似然函数为：L(α)??1)xα]?(1?αnX?[(α?nxαi)i S/10?t(1?0?1t)，( 9)i?1i?1nlnL(α)?nln(α?1)??αlnxi
i?12．设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且Xi~N(0,1),i?1,2,?,n则
?lnL(α)nX2?X2221?X2???Xn服从什么分布。 ?α?nα?1??lnxi?0 i?1解：χ2(n)
得极大似然估计：α???nn?1。 3．设总体X~N(2,42)，X?lnxi1,X2,?,XX?2n为X的样本，则4n服从
i?1 什么分布。
解 因X~N(2,42)，所以X~N??2,4?7．设X服从参数为λ的指数分布
?n??，标准化后，有φ（λ）?λe?λxx?0λ?0
X?2 x~N(0,1)1,x2,?,xn是来自总体X的样本，求λ的极大似然估计。
，故选择X?2~N(0,n4n4n1) 解：似然函数为L(xn1,x2,?,xn;λ)?λ?ne?λx?λii?λne?xi?1于是
i?1n4．设随机变量Ｘ～Ｆ（ｍ，ｎ）则1X服从什么分布。
lnL?nlnλ?λ?xi
i?1解 F(n,m)
令dlnLn
dλ?nnλ??xi?0得λ???1i?1x，因此，λ??1x为λ的5．设总体X~N(μ,32),X?nxi1,X2,?,Xn为取自总体的一个样本，X为i?1样本均值，要使E(X??)2?0.1成立，则样本容量n至少应取多大？ 极大似然估计。
1 解 E(X?μ)2?DX? nDX?1n32?0.1，得n?90。
6．设总体X的概率密度为：f(x)???(α?1)xα0?x?1 ?0其它，其中
α??1，求α的极大似然估计。