数列经典综合题
等差数列与等比数列综合题
例1 等比数列{an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列 （1）求{an}的公比q；
（2）求a1－a3＝3，求sn 解：（Ⅰ）依题意有
a1?(a1?a1q)?2(a1?a1q?a1q)
2 由于 a1?0，故2q2?q?0 又q?0，从而q?－12 1）?3 故a1?4
2
2 （Ⅱ）由已知可得a1?a（?1（41?（?1n 从而Sn?））81n2 ?（1?（?））1321?（?）2n例2 在正项数列?an?中,令Sn??i?11ai?ai?1.
（Ⅰ）若?an?是首项为25,公差为2的等差数列,求S100； （Ⅱ）若Sn?npa1?an?11ai?ai?1a2（p为正常数）对正整数n恒成立,求证?an?为等差数列；
ai?1?21a1?a2（Ⅰ）解：由题意得,?ai,所以S100=a201?2a1?5
（Ⅱ）证:令n?1,
npa1??,则p=1
所以Sn?n?1?i?11ai?1ai?1=npa1?an?1（1）,
Sn?1??i?1=ai?1(n?1)pa1?an?2（2）, nai?（2）—（1）,得(n?1)a1?an?2—=an?11an?1?an?2, a1?化简得(n?1)an?1?nan?2?a1(n?1)（3）
(n?2)an?2?(n?1)an?3?a1(n?1)（4）,（4）—（3）得an?1?an?3?2an?2(n?1)
在（3）中令n?1,得a1?a3?2a2,从而?an?为等差数列
例3 已知{an}是公比为q的等比数列，且am,am?2,am?1成等差数列.
（1）求q的值；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，试判断Sm,Sm?2,Sm?1是否成等差数列？说明理由. 解：（1）依题意，得2am+2 = am+1 + am
∴2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1
在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，
∴2q2 = q +1，解得q = 1或?12.
（2）若q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1，Sm + 2 = (m+2) a1
∵a1≠0，∴2Sm+2≠S m + Sm+1
若q =?121?(?12)m?2，Sm + 1 =
11?(?12?)23?16?(?12)m
1?(?Sm + Sm+1 =
2?11?(?)2)m1?(?12)m?11?(?12?43?23[(?12)m?(?12)m?1]=
43?13(?12)m
)∴2 Sm+2 = S m + Sm+1
故当q = 1时，Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列； 当q =?12时，Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列.
2例4 已知数列｛an｝的首项a1?a（a是常数），an?2an?1?n?4n?2（n?N,n?2）．（Ⅰ）?an?是否可能是等差数列.若可能，求出?an?的通项公式；若不可能，说明理由；
2（Ⅱ）设b1?b，bn?an?n（n?N,n?2），Sn为数列?bn?的前n项和，且
解：（Ⅰ）∵a1?a,依an?2an?1?n?4n?2(n?2,3,?)
∴a2?2a?4?8?2?2a?2 a3?2a2?9?12?2?4a?5
a4?2a3?2?8a?8 a2?a1?2a?2?a?a?2,a3?a2?2a?3,a4?a3?4a?3
若{an}是等差数列，则a2?a1?a3?a2,得a?1 但由a3?a2?a4?a3，得a=0,矛盾. ∴{an}不可能是等差数列
(Ⅱ)∵bn?an?n ∴bn?1?an?1?(n?1)2?2an?(n?1)2?4(n?1)?2?(n?1)2≥2)
∴b2?a2?4?2a?2
当a≠－1时, bn?0{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列
n?1∴S?b?(2a?2)(2?1)?b?(2a?2)(2n?1?1)
n1?Sn?是等比数列，求实数a、b满足的条件．
22?2an?2n2?2bn(n
2?1n≥2时,SnSn?1?(a?1)2?b?2a?2(a?1)2n?1n?b?2a?2?2?b?2a?2(a?1)2n?1
?b?2a?2∴{Sn}是等比数列, ∴Sn(n≥2)是常数 ∵a≠-1时, ∴b-2a-2=0 当a=-1时，
Sn?1b2?0,由bn?2bn?1（n≥3）,得bn?0（n≥2） ∴Sn?b1?b2????bn?b
∵{Sn}是等比数列 ∴b≠0
综上, {Sn}是等比数列,实数a、b所满足的条件为?a??1?a??1 或???b?2a?2?b?0例5 设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，?. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式； (Ⅲ)设cn=n(3-bn)，求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2 ∴a1=1
∵Sn=2-an即an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2 两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0 即an+1-an+an+1=0故有2an+1=an ∵an≠0 ∴
an?1an?12(n∈N*)
11的等比数列.an=()n?1(n∈N*) 22所以，数列{an}为首项a1=1，公比为(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…) ∴bn+1-bn=(得b2-b1=1 b3-b2=
121212)
n-1
)2
b4-b3=(??
bn-bn-1=(
12)(n=2，3，?)
n-2
将这n-1个等式相加，得
112131n?2?()?()???()22221n-1
bn-b1=1+
1n?11?()1n?12??2?2()
121?2又∵b1=1，∴bn=3-2((Ⅲ)∵cn=n(3-bn)=2n(∴Tn=2[(而
1212212)(n=1，2，3，…) )
12n-1
)0+2(
1212)+3(
121)2+?+(n-1)(
112)n-2+n(
12)n-1] ①
Tn=2[(
1)+2(
)2+3(
1n?11n)3+?+(n-1)()?n()] ② 222①-②得：
11121n?11n0Tn?2[()?()?()???()]?2n() 2222221n1?()1n81n2Tn=4?4n()?8?n?4n()
12221?21=8-(8+4n)n(n=1，2，3，…)
2例6 已知数列{an}中，a0?2,a1?3,a2?6，且对n≥3时
有an?(n?4)an?1?4nan?2?(4n?8)an?3．
（Ⅰ）设数列{bn}满足bn?an?nan?1,n?N?，证明数列{bn?1?2bn}为等比数列，并求数
列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记n?(n?1)???2?1?n!，求数列{nan}的前n项和Sn
（Ⅰ） 证明：由条件，得an?nan?1?4[an?1?(n?1)an?2]?4[an?2?(n?2)an?3]，
则an?1?(n?1)an?4[an?nan?1]?4[an?1?(n?1)an?2]． 即
b2?2b1??2?0bn?1?4bn?4bn?1.又b1?1,b2?0，所以
bn?1?2bn?2(bn?2bn?1)，
．
所以{bn?1?2bn}是首项为?2，公比为2的等比数列．
b2?2b1??2，所以bn?1?2bn?2n?1(b2?2b1)??2．
12n两边同除以2n?1，可得于是?所以
bn2nbn?12n?1?12bn2n??．
1?bn?为以n?2?2?首项，－为公差的等差数列．
?b12?n1n(n?1),得bn?2(1?)22．
（Ⅱ）an?2n?nan?1?n2n?1?n(an?1?2n?1)，令cn?an?2n，则cn?ncn?1．
而c1?1， ?cn?n(n?1)???2?1?c1?n(n?1)???2?1． ∴an?n(n?1)???2?1?2n．
nan?n?n?(n?1)???2?1?n2?(n?1)!?n!?n?2，
nn∴Sn?(2!?1!)?(3!?2!)???(n?1)!?n!?(1?2?2?22???n?2n)．
令Tn＝1?2?2?22???n?2n， ①
则2Tn＝1?22?2?23???(n?1)?2n?n?2n?1． ②
①－②，得?Tn＝2?22???2n?n?2n?1，Tn＝(n?1)2n?1?2．
∴S?(n?1)!?(n?1)2n?1?1．
n例7 设数列?an?,?bn?满足a1?1,b1?0且
?an??2an?3bn,??bn?1?an?2bn,n?1,2,3,??
（Ⅰ）求?的值，使得数列?an??bn?为等比数列； （Ⅱ）求数列?an?和?bn?的通项公式；
?，求极限lim（Ⅲ）令数列?an?和?bn?的前n项和分别为Sn和SnSn?Sn的值．
n??（Ⅰ）令cn?an??bn，其中?为常数，若?cn?为等比数列，则存在q?0使得
cn?1?an?1??bn?1?q(an??bn)．
又an?1??bn?1?2an?3bn??(an?2bn)?(2??)an?(3?2?)bn． 所以q(an??bn)?(2??)an?(3?2?)bn． 由此得(2???q)an?(3?2???q)bn?0,n?1,2,3,?
由a1?1,b1?0及已知递推式可求得a2?2,b2?1，把它们代入上式后得方程组
?2???q?0, 消去q解得???3． ?3?2???q?0?下面验证当??an?1?3时，数列an??3bn为等比数列．
?3bn?1?(2?3)an?(3?23)bn?(2?3)(an?3bn) (n?1,2,?3,，
a1?3b1?1?0，从而an??3bn是公比为2??3的等比数列．
同理可知an??3bn是公比为2??3的等比数列，于是???3为所求．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得an?3bn?(2?3)n?1，an?3bn?(2?3)n?1，解得