第七章 组合变形
本章主要讨论建筑工程中常见的组合变形的强度计算问题。其中斜弯曲、拉（压）与弯曲、偏心拉（压）组合变形的强度计算问题是本章的重点。
第一节 组合变形的概念
前面的章节分别研究了杆件在轴向拉（压）、剪切、扭转、平面弯曲基本变形下的强度和刚度计算。但在工程实际中，结构中一些杆件的受力情况是复杂的，往往同时发生两种或者两种以上的基本变形，这种由两种或两种以上的基本变形组合而成的变形称为组合变形。
例如，图7-1a所示的烟囱，除自重引起的轴向压缩外，还有水平方向的风力引起的弯曲变形，即同时产生两种基本变形。又如，图7-1b所示的备有吊车的厂房柱，作用在立柱上的荷载F1和F2,其合力的作用线一般不在立柱轴线上，此时，立柱即发生压缩变形又发生弯曲变形。再如，图7-1c所示的曲拐轴，在荷载F作用下，曲拐AB段同时发生扭转和弯曲变形。上述这些杆件的变形，都是结构杆件发生组合变形的工程实例。
图7-1
由上一章梁的弯曲可知：外力沿横向作用在梁的纵向对称平面内，梁将发生平面弯曲变形。那么，外力虽然沿梁的横向（垂直于轴线），但不作用在纵向对称平面内时，梁会发生怎样的变形呢?实验及理论研究得知，此时梁轴线变形后弯成的曲线已不在荷载的作用平面内，即不属于平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲。若外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力作用仍在纵向对称平面内，梁将发生拉（压）与弯曲组合变形。若作用外力虽然沿杆件轴向方向，但不与轴线重合，杆件也将发生拉（压）与弯曲组合变形，称为偏心拉（压）。对发生组合变形的杆件计算应力和变形时，可将荷载进行简化或分解，使简化或分解后得到的静力等效的荷载，每类荷载各自只引起一种基本变形，分别计算，再进行叠加，就得到由原来的荷载所引起的组合变形的应力和变形，这就是组合变形的分析方法和组合变形计算的叠加原理。这里需要强调的是：叠加原理是在满足小变形和力与位移成线性关系的条件下才适用。
本章将主要讨论斜弯曲、拉压与弯曲、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算问题。
第二节 拉伸（压缩）与弯曲组合变形
若外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力仍作用在纵向对称平面内，这时梁将发生拉伸（压缩）与弯曲变形。如图7-2a所示矩形截面悬臂梁，外力F斜交于轴线，与y轴夹角为?。若将力沿x、y轴方向正交分解，则分力Fx沿梁的轴线作用，使梁发生轴向拉伸变形；分力Fy沿垂直于轴线作用，使梁发生平面弯曲变形。因此，悬臂梁的变形为轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合变形，简称为拉（压）弯曲组合变形。下面以图7-2a为例，说明拉（压）弯曲组合变形时的正应力及强度计算。
图7-2
杆件发生拉（压）弯曲组合变形时，截面上的弯曲切应力较小，可略去不计，杆件截面上既有轴向拉（压）时均匀分布的拉应力，又有线性分布的弯曲正应力，如图7-2c、d所示。截面各点处同时作用的正应力可以叠加，如图7-2e所示。可见截面上边缘有最大的拉应力，其值为
由上式可知，拉（压）与弯曲组合变形时最大应力发生在弯矩最大的截面上。其强度设计准则为
（7-1）
式（7-1）表明，发生拉（压）与弯曲组合变形时，危险截面上危险点的应力不得超过
材料的许用应力。在进行组合变形强度计算时，需要先分析杆件的危险截面和危险点，然后用该强度准则进行计算校核。
例7-1 图7-2a所示为矩形截面悬臂木梁，已知作用外力F?10kN，与y轴夹角为
2
??30?，梁跨l?4m，矩形截面尺寸b?h=200×300mm，???=12MPa,试校核梁的强度。 解 1）求最大内力。由前述分析可知，梁发生拉弯组合变形，其危险截面是左端固端截面，截面内力为
2） 强度计算。危险点是固定端截面上边缘的点，即
所以，梁的强度满足要求。
例7-2 图7-3所示为简易起重机，其最大起吊重量G?15.5kN，横梁AB为工字钢，许用应力[?]=170MPa，若梁的自重不计，试按正应力强度准则选择工字钢的型号。
解1) 横梁的变形分析。横梁AB可简化为简支梁，由于起重机电葫芦可在AB之间移动，由前述可知当简支梁跨中点作用集中力时，梁跨中点截面有最大弯矩，所以当电葫芦移动到梁跨中点时是梁的危险状态，因此应以吊重作用于梁跨中点来计算支座约束力。为便于分析计算，可将拉杆BC的作用力FB分解为FBx和FBy(图7-3b)，列平衡方程得
力FAy、G与FBy沿AB的横向作用使梁AB发生弯曲变形，力FAx与FBx沿梁AB的轴向作用使梁AB发生轴向压缩变形，所以梁AB发生压缩与弯曲组合变形。
2） 横梁内力分析。做梁AB的轴力图和弯矩图（如图7-3c、d），可见，横梁AB中点截面的弯矩最大，其值为
横梁各截面的轴力为
3）选择工字钢型号。由于在横梁跨长中点的截面上弯矩最大，故此截面为危险截面。最大压应
力发生在该截面的上边缘各点处。由强度准则
确定工字钢型号。因强度准则含有截面A和抗弯截面系数Wz两个未知量，不易确定。为便于计算，可以先不考虑压缩正应力，只根据弯曲正应力强度准则进行初步选择，然后再按拉(压)与弯曲强度准则进行校核。由弯曲正应力强度准则
查附表型钢表，选14号工字钢，其Wz=102cm3
=102×103mm3,A=21.5cm2=21.5×102mm2。 图7-3
4）校核。初选工字钢型号后，再按拉（压）与弯曲组合强度准则校核
所以选用14号工字钢可满足强度要求。若不满足强度条件，可重新选择工字钢型号，直到满足强度条件为止。
第三节 斜弯曲
如图７-4a所示，矩形截面梁在外力F作用下发生变形，但外力F的作用线只通过端截面的形心而不在梁的纵向对称平面内，此时梁将发生斜弯曲变形。把外力F沿截面对称轴方向进行正交分解，斜弯曲变形就分解为两个垂直平面上的平面弯曲变形的组合。
图7-4
一、斜弯曲的应力分析
当梁发生斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和切应力，由于弯曲切应力与弯曲正应力相比，切应力的值较小，一般可以忽略不计。先将外力F沿截面两个对称轴方向分解为Fy和Fz，分别计算Fy和Fz单独作用下的Mz和My，以及两个弯矩各自产生的正应力，然后再进行同一点应力的叠加，即得出截面任意点的应力值。
由图7-4a可知，外力F沿截面两个对称轴方向分解为Fy和Fz，其值为
则任意截面A的弯矩（图7-4b）为
其中，M z和My下标z、y分别表示截面弯曲的中性轴。
由弯曲应力分布公式可知，截面A任意点K处的弯曲正应力分别是
Fy和Fz作用下截面A中任意点K处的弯曲应力为
(a)
式（a）即为斜弯曲时梁横截面上任意点的正应力计算公式。式中，Iz、Iy分别为截面对z轴和y轴的惯性矩；y和z分别为所求应力点的截面坐标。
二、斜弯曲的强度计算
1. 最大应力
由图7-4b所示可见，Mz使截面A上边缘有最大拉应力、下边缘有最大压应力；My使截面A后边缘有最大拉应力、前边缘有最大压应力。故截面A的上、后边缘的交点处有最大拉应力，截面A的下、前边缘的交点处有最大压应力，其计算公式为：
（b）
式（b）即为任意截面的最大应力计算公式。从式（b）可以看出，对工程常用的工字形、矩形等对称截面梁，斜弯曲时最大应力一定发生在弯矩最大截面的边缘交点处。通常把最大弯矩的截面称为危险截面，危险截面上最大正应力的作用点称为危险点。
如图7-4a所示的矩形截面梁，其左端固定端截面的弯矩值最大，该截面是梁的危险截面。该截面上、后边缘的交点d和下、前边缘的交点b是梁的危险点。全梁的最大弯曲正应力为
(c)
式（c）表明，斜弯曲时梁的最大弯曲正应力必发生在弯矩最大的截面上。
2. 强度准则
与平面弯曲一样 ，斜弯曲时梁的强度设计准则要求梁的最大工作应力（即危险截面上危险点的最大正应力）不超过材料的许用应力，即
（7-2）
此式即为斜弯曲梁的强度准则。
应用斜弯曲梁的强度准则，同样可以解决工程中常见的三类问题，即校核强度、设计截面和确定许用荷载。但在设计截面时应注意：因为式中存在两个未知变量Mz和My，所以在选择截面时，需先设定一个比值M z/My(工程中一般为：矩形截面取M z/My=1.2~2；工字形截面取M z/My=6~10)，然后再用式（7-2）设计截面的具体尺寸，最后对所选截面进行校核，以确保满足强度准则。
例7-3 图7-5所示矩形悬臂梁，已知F1?0.5kN,F2?0.8kN,截面尺寸b?100mm,h?150mm，试计算梁的最大拉应力及所在位置。
图7-5
解 1）求最大弯矩。梁受铅垂力F1和水平力F2共同作用，发生双向弯曲变形。梁的危险截面是左端固定端截面，最大弯矩分别为
2）求最大弯曲正应力。
3）危险点位置。最大拉应力位于固定端截面上边缘和后边缘的交点d，即梁的危险截面是固定端截面，危险点为截面的d角点。
例7-4 如图7-6a所示，跨度为l=4m的简支梁拟用工字钢制成，跨中作用集中力F=7kN，其与横截面纵向对称轴y的夹角??20?(图7-6b)，已知[?]=160MPa．试选择工字钢的型号(提示：先假定WzWy的比值，试选后再进行校核)。 、
解 1) 画弯矩图。所得弯矩图如图