黑龙江工程学院本科生毕业论文
第1章 绪 论
1.1 研究的目的
自从1960年卡尔曼滤波提出以来，它已成为控制，信号处理与通信等领域最基本最重要的计算方法和工具之一，并已成功的应用到航空，航天，工业过程及社会经济等不同领域，比如，在雷达中，人们感兴趣的是跟踪目标，但目标的位置、速度、加速度的测量值往往在任何时候都有噪声。卡尔曼滤波利用目标的动态信息,设法去掉噪声的影响，得到一个关于目标位置的好的估计。这个估计可以是对当前目标位置的估计（滤波），也可以是对于将来位置估计（预测），也可以是对过去位置的估计（差值或平滑）。但随着微型计算机的普及应用,对卡尔曼滤波的数值稳定性、计算效率、实用性和有效性的要求越来越高，随着微型计算机时代的来临显著地提高了科学计算的能力，滤波大量复杂的计算在计算机种只需要几分钟就能算出，为此本文将对卡尔曼滤波进行研究。
1.2 研究的意义
卡尔曼滤波 ( Kalman , 1960) 是当前应用最广的一种动态数据处理方法 , 它具有最小无偏方差性. 把变形体视为一个动态系统 , 将一组观测值作为系统的输出 , 可以用卡尔曼滤波模型来描述系统的状态. 动态系统由状态方程和观测方程描述 , 以监测点的位置、速率和加速率参数为状态向量 ,可构造一个典型的运动模型. 状态方程中要加进系统的动态噪声. 其滤波方程是一组递推计算公式 ,计算过程是一个不断预测、修正的过程 , 在求解时 , 优点是不需保留用过的观测值序列 , 并且当得到新的观测数据时 , 可随时计算新的滤波值 , 便于实时处理观测成果 , 把参数估计和预报有机地结合起来. 卡尔曼滤波特别适合变形监测数据的动态处理.
1.3 研究的方法
1.4 课题的主要内容
本文先从现代测量误差处理理论基础开始讲解，细致的写出现代测量误差都有那些函数，并详细分析讲解这些函数，在继续讲解最小二乘与卡尔曼滤波的关系，如量测值越多，只要处理得合适，最小二乘估计的均方误差就越小。采用批处理实现的最小二乘算法，需存储所有的量测值。若量测值数量十分庞大，则计算机必须具备巨大的存储容量，这显然是不经济的。递推最小二乘估计从每次获得的最小量测值中提取出被估计量信息，用于修正上一步所得的估计。获得量测的次数越多，修正的次数也越多，估计的精读也越高。这和卡尔曼滤波原理非常相似，本文在详细讲解了卡尔曼滤波，写出其原理性质，在根据C++进行编程，使其应用于测量领域。
第2章 现代测量误差处理理论基础
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2.1概 述
在测量、通信和控制等学科中，为了求得某些未知参数，常常要进行一系列的观测．由于测量上的局限性，往往只能观测未知量的某些函数，且观测值中必然含有误差(或称为噪声)．这就产生了根据含有误差的观测值求定未知参数估值的问题．下面举几个例子．
(1)为了确定平面或三维控制网中各点的坐标，对控制网的边长和方向(或坐标差)进行了观测，当然，观测值包含有误差．设各点的坐标为未知参数向量x，而包括边长和方向的观测值向量为L，则L和x之间有函数关系
L?F(X)??
式中?表示误差向量．通过含有误差?的观测向量L来求定待定点坐标的最佳估值，就是一个估计问题．在测量中，就是一个平差问题．
(2)通信理论中的一个重要问题是从接收到的信号中，提取被发送的信号设被发送的信息调制成信号S(t)，而接收到的信号也就是信号的观测值L(t)，由于大气噪声和电路噪声的干扰，因此有
L(t)?S(t)?n(t)
其中n(t)是噪声，t表示时间．通信中的主要问题就是从L(t)中将有用的信号S(t)分离出来，也就是由L(t)求定S(t)的最佳估值．信号S(t)也是一种未知参数．
(3)生产过程的自动化可以达到高效率和高精度 在实现生产过程的控制中，需要通过对生产系统进行状态的不断测量，得到与系统运行状态有关的观测值；然后对观测值进行分析处理得到控制信号，实时地控制生产系统按要求运行．但由于观测值中存在误差，所以，为了得到控制信号，就要求由观测值来估计系统的运行状态
(4)卫星(或其他运动体)的轨道往往可以由如下微分方程确定
?(t)?f(X(t),U(t),?(t)) X式中f表示时间；x(t)表示卫星的轨道参数，在此处称为状态向量；U(t)为控制向量；力(t)是随
机的状态噪声．为了精确估计或预测卫星的轨道，就需要对卫星进行观测，从而得到大量的观测数据L(t)，然后实时地由含有误差的观测值L(t)来估计卫星的轨道，即估计卫星的轨道参数． 以上例中所述的信号或状态都可以说是一种未知参数．在测量平差中，通常称非随机的未知参数向量为参数，而称随机参数向量为信号，而称随时间t变化的动态系统中的未知参数向量为状态向量，或筒称为状态．可以看到，在上面的例子中，都存在一个对未知参数进行估计的问题． 一般说来，若设x为t阶未知参数向量(简称为参数)，L为n阶观测向量(或称观测值)，?表示n维误差(或噪声)向量．那么，所谓估计问题，就是根据含有误差?的观测值L，构造一个函数
?(L)，使X?(L)成为未知参数向量X的最佳估计量，其具体数值称为最佳估值(以后一般不区分X?，并记 ?(L)简记为X其含义)．通常将X???X??X?X(L)?X?X
?称?X?；为X(L)的估计误差．
可以看到，当△；的数学期望等于零时，?X??X?)；而当X为非随机量?；的方差就等于E(?X
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时，未知参数的估值工的方差DX?；也就等于其误差方差D(?X?)．在估计理论中，通常是用估计
?的误差方差D(?)来衡量其精度的．量X但在经典的最小二乘平差中，由于X一般都是非随机参?X数，所以习惯上都用估值(平差值)的方差衡量精度．
?(L)时， 在根据观测值L求未知参数x的估值X总是希望所得到的估值是最优的．由估计理论
知道，最优估计量主要应具有以下几个性质：
?(L)通常与其真值是不同的，我们希望当观测值个数n增 (1)一致性．由观测值得到的估值X加时，估计量变得更好些；当n无限增大时，估计量向被估计的参数趋近的概率等于1．即如果对于任意??0，有
??X??)?1 (1-1-1) limP(X???Xn???具有一致性；若有 则称估计量X?)(X?X?))?0 (1-1-2) lim((X?XTn??则称此估计量是均方一致的．估计量的一致性是从它的极限性质来看的．
?的数学期望等于被估计量x的数学期望，即 (2)无偏性．若估计量X?)?E(X) (1-1-3) E(X如果丑是非随机量，上式即为
?)?X (1-1-4) E(X?为渐近无偏． ?)?X(n??)，则称X则称丘为无偏估计量．如果E(X?的误差方差E((X?X?)(X?X?)T)，小于由L (3)有效性．若由观测向量L得到无偏估计量X得到的任何其他无偏估计量X的误差方差E((X?X)(X?X))，即
***T?)(X?X?)T) *?是有效估计量，也称X?具有有效性或方差最小性． 则称X 以不同的准则来求定未知参数的最佳估值，可得到不同的估计方法．估计方法主要有极大似然估计，最小二乘估计，极大验后估计，最小方差估计和线性最小方差估计等；经典的测量平差法都是以最小二乘估计或极大似然估计为根据导出的；而滤波、配置和动态系统的卡尔曼滤波等，最初是以极大验后估计或最小方差估计为根据导出的．因此，概率统计中的估计理论是广义测量平差的理论基础． 3 黑龙江工程学院本科生毕业论文 2.2多维正态分布 正态分布是测量平差理论中最常用的误差分布，是最小二乘平差误差理论的基础．本节在已学过的一元正态分布的基础上，对多维正态分布做全面阐述．广义测量平差理论中还涉及其他分布，则将分别在相应章节中一一介绍． 2.2.1多维正态分布的定义和性质 已知随机变量X的正态分布概率密度为 f(x)?1?1?exp??2(x??X)2? (1-2-1) ?2??2??式中两个参数?X和?2分别为随机变量X的数学期望和方差．当?X=0，?2=1时，X为标准正态分布变量．记为X~N(0,1)，其概率密度为 f(x)?1?1?exp??x2? (1-2-2) 2??2?Z2?Zm?它们 T 设有m个互相独立的标准正态随机变量构成的随机向量Z??Z1的有限个线性函数 ?X1??Z1?????XZ22X????A???A0 n?1???n?m???n?1????X?n??Zm?为n维正态随机向量．此时，X的数学期望和方差阵为 E(X)??? T?DX?AA?X的分布函数和概率密度都简称为n维(或n元)正态分布，简记为X~Nn(?,AAT)，或写为 X~Nn(?,DX)． 由互相独立的标准正态随机变量组成的随机向量Z，可写为Z~N(0,En).En为n阶单位阵． 多维正态分布具有以下性质： (1)正态随机向量的线性函数还是正态的.例如,设X~Nn(?,AAT),Y?BX?b则 Y~N(B??b,BAATBT) (2)设X~Nn(?,AAT),，记 4 黑龙江工程学院本科生毕业论文 ?X?????D X??1?,???1?,DX?AAT??11?X2???2??D21r?1n?rD12? ?D22?则 X1~Nr(?1,D11),X2~N(?2,D22). 2.2.2多维正态分布 设有n维正态随机向量X—N。(p。，Dx)，其中方差阵D，为可逆阵，即det(Dx)≠0，则它的概 率密度为 f(x)?2(?)??2DX?12?1??1exp??(x??X)TDX(x??X)? ?2?式中DX表示DX的行列式． 对于二维正态随机向量?XY?，若它有可逆方差阵和数学期望为 2??X???XYT?XY???X?和?? 2??Y???Y?则由(1-2-3)式可得其概率密度为 f(x,y)?12?????2X2Y2XY? 22?(x??X)2?Y?2(x??X)(y??Y)?XY?(y??Y)2?Xexp??2222?X?Y??XY??? ?因相关系数?XY?1?XY，所以上式可写为 ?X?Y???(x??X)2(x??X)(y??Y)(y??Y)2??1?exp???2????? 222?X?Y?Y???2(1??XY)??X??(1-2-4) f(x,y)?22??X?Y1??XY这就是二维正态随机向量概率密度． 当?XY?0或?XY=0时，即当X和Y是互不相关的两个正态随机变量时，则有 ?(x??X)2(y??Y)2? f(x,y)?exp???? 222??X?Y2?X2?Y??1?(x??X)2??(y??Y)2?1?exp??exp????? 222?X?2??Y2?Y?2??X??1?fx(x)fy(y) 5