黑龙江工程学院本科生毕业论文
这就是说，当?XY?0时，x和y是互相独立的．所以，对于正态分布来说，随机变量的“互不相关”与“互相独立”是等价的．
根据(1-2-4)式绘制二维正态曲面(密度曲面)如图l-1所示．曲面在点(?X,?Y)处取得最大值．如果用平行于XOY面的平面Z?Z0 (常数)截此曲面，即得到一族椭圆，椭圆上所有点的概率密度值均相等，因此，称这些椭圆为等密度椭圆．
2.2.3正态随机向量的条件概率密度 设有n?t维正态随机向量X，且设
X???X1???1??D11,??,D??X???X?DX?2??2??21D12? D22??X1和X2分别是由X的前n个分量和后t个分量构成的正态随机变量，即X1~Nn(?1,D11)，X2~Nt(?2,D22)的概率密度是
图1-1
f(x)?(2?)按分块矩阵求逆公式，有
?n?12
T?x??x??1?????111??1?1exp???D? （1-2-6） X????x2??2???2?x2??2???DX1?2?1?1??1DD?1?D?1DD??1??D11?D11D12D222111111222D??? （1-2-7） ?1?1?1???D22D21D11D22???1X或为
??1?DD???111?1???D22D21D11?1X??1DD?1??D111222 （1-2-8） ?1?1?1?1??D22?D22D21D11D12D22?其中
??D?DD?1D?D1111122221 （1-2-9）
??D?DD?1D?D2222211112?可将（1-2-7）和（1-2-8）两式分别写为
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?1??D11D12???1?1D???DD?D22??2111?Et??1X?1?D110?Et????00? （1-2-10）
???E???1?1?DX???1n?D11?En?DD?2221?因DX还可分解为
?00??1?D22D21????0D?1? （1-2-11）
?22??DDX??11?D21所以，DX的行列式之值为
?1?0??ED11D12??D11??????0DE??022??D12??E???1D22??D22D20? （1-2-12） ?E???DD? （1-2-13） DX?D11D222211利用(1-2-10)、(1-2-9)式和(1-2-13)式，可将概率密度(1-2-6)式改写为
f(x)?f(x1,x2)
?(2?)?n2D1112?12?1??1?exp??(x1??1)TD11(x1??1)??
?2?12 (2?)或
??D22??1???1(x???2)TD??exp??(x2??)2222? （1-2-14）
?2?f(x)?f(x1,x2)
?(2?)?12D22?m2?12?1??1?exp??(x2??2)TD22(x2??2)??
?2??12 (2?)
?D11?1???1(x???1)TD?1)? （1-2-15） ?exp??(x1??111?2??1?1??1?D12D22?(x2??2)?其中 ? （1-2-16） ?1?2??2?D21D11(x1???1)??根据边际概率密度和多维正态分布的性质可知
f1(x1)?(2?)?n2D11?12?1??1?exp??(x1??1)TD11(x1??1)? （1-2-17）
?2??1??1?exp??(x2??2)TD22(x2??2)? （1-2-18）
?2?7
f2(x2)?(2?)?12D22?12
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又由条件概率密度公式知
f(x2x1)?f(x1,x2) （1-2-19）
f1(x1)f(x1,x2) （1-2-20）
f2(x2)f(x1x2)?而将(1-2-14)和(1-2-17)两式代人(1-2-19)式，得
f(x2x1)?(2?)
?12?D22?12?1???1(x???2)TD?（1-2-21） ?exp??(x2??)2222??2?
12而将(1-2-15)和(1-2-18)两式代人(1-2-20)式，即得
f(x1x2)?(2?)?m2?D11??1???1(x???1)TD?（1-2-22） ?exp??(x1??)1111?2??
显然，上两式仍然是正态概率密度，根据条件期望和条件方差的定义和正态概率密度的性质可得
?1?1??1?D12D22E(X1x2)??(x2??2)???1?2??2?D21D11E(X2x1)??(x1??1)?（1-2-23）
??D?DD?1D?D(X1x2)?D1111122221（1-2-24）
??D?DD?1D?D(X2x1)?D2222211112?
因此，（1-2-21）和（1-2-22）式又可写为
?12?12f(x2x1)?(2?)D(X2x1)f(x1x2)?(2?)?m2T?1???exp???x2?E(X2x1)??D?1(X2x1)?x2?E(X2x1)????2???1T??1?D(X1x2)2?exp???x1?E(X1x2)??D?1(X1x2)?x1?E(X1x2)????2???
（1-2-25）
正态分布的条件期望具有以下性质：
(1)由(1-2-23)式可知，所以,它是正态随机向量；当然E(X2x1) E(X1x2)是x2的线性组合，也是正态随机向量．
(2)设X和Y，为正态随机向量，且设
??X?E(Xy)?X （1-2-26） ?Z?AY?
?是与Z互相独立的随机向量．这是因为 则X??X???DD?1(Y??) XXXYYY??
?1?1?X?DXYDYY?DXYDY?Y
由协方差传播律可得
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?,Z)??E?DD?1??DXD(XXYY????DYXDXY??0??T?DY???A?
?1?DXYAT?DXYDYDYAT?0
(3)设
X~N(?X,DX)，Y1~N(?1,D1)，Y2~N(?2,D2)，且cov(Y1,Y2)=0，而
D(X,Y1)=DXY1?0,D(X,Y2)=DXY2?0,则有
E(Xy)?E(Xy1,y2)?E(Xy1)?E(Xy2)??X (1-2-27)
证 因为
?1E(Xy)?E(Xy1,y2)??X?DXYDY(y??Y)
??X???DXY1所以
?D1?1DXY2???0?0??y1?1??D2??y2??1???2??
?1E(Xy1,y2)??X?DXY1D1?1(y1??1)?DXY2D2(y2??2)??X??X????
?E(Xy1)?E(Xy2)??X
(4)设X~N(?X,DX),Y~N(?Y,DY),且
??1??D11?Y???,DY????2??D21?DY1X?D12?T,DXY????DXY ?D22???DY2X????Y?E(Yy),则有 令Y2221?2) E(Xy1,y2)?E(Xy1,y?2)??X (1-2-28) ?E(Xy1)?E(Xy证 因为
??Y???DD?1(Y??) Y222211111????D21D所以
?111?Y1??1E????DD?1 22111???Y?2? 9
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???1DD??12??D11D12?1?)???DD?1E??11??D(Y?D?DDD?D?22221111222????2111??D?21D22??E????,Y)?0D(Y21???DY1X??1?1?? (1-2-29) D(Y2,X)????D21D11E???D??DY2X?D21D11DY1X???Y2X???利用分块求逆公式和(1-2-29)式得
?1E(Xy1,y2)??X?DXYDY(Y??Y)
?)?0,E(Y2 ??X???DXY1
?D11?DXY2???D21D12??Y1??1??Y??? D22???22??1?D11E????0???X???DXY1?1????D11D12???1?1?DXY2??D?DD21???2211?????E?0????Y1??1??????Y??0??2???2?)???D?1D??X?(?DXY1DD12?DXY2)D?(Y2?1121?111?1??Y1??1??1??E????DXY1D110??Y????22???)D?1(Y?)??DD?1(Y??)?Y????DD?1(Y??)??????X?D(X,Y2221111122XY11111XX?2)??X ?E(Xy1)?E(Xy2.2.4矩阵反演公式
由于正定矩阵的逆阵唯一，故由（1-2-7）、（1-2-8）两式直接可得：
?1?1?1?1?1 (1-2-30) (D11?D12D22D21)?1?D11?D11D12(D22?D21D11D12)?1D21D11?1?1?1?1 (1-2-31) D11D12(D22?D21D11D12)?1?(D11?D12D22D21)?1D12D22由此可知，对于任意矩阵A、B和任意可逆阵C、D，只要在下式中它们可以相乘，就有上两式关系，
一般形式为
(D?ABC)?1?D?1A(C?1?BD?1A)?1BD?1 (1-2-32) CB(D?ABC)?1?(C?1?BD?1A)?1BD?1 (1-2-33)
通常称(1-2-32)、(1-2-33)两式为矩阵反演公式，是两个非常重要的关系式，在测量平差推导公式时常要用到．
矩阵反演公式也可直接证明．令H?(D?ABC)，则有
(D?ABC)H?E,或DH+ACBH=E， (1-2-34)
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