数学分析第三章函数极限§4 两个重要的极限sinxlim?1一、x?0x1??lim?1???e二、x??x??*点击以上标题可直接前往对应内容在本章,我们将讨论两个重要的极限x§4 两个重要的极限
数学分析第三章函数极限高等教育出版社sinx命题1lim?1xx?0π??证因为sinx?x?tanx?0?x??,所以2??x11??.(1)sinxcosx不等式中的三个表达式均是偶函数, 故当
π0?|x|?时,(1)式仍成立.21x因为lim=1=lim=?1，所以lim?1,x?0x?0x?0sinxcosxsinx即lim?1.xx?0后退前进目录
sinxlim?1xx?0sinxlim?1xx?01??lim?1???ex??x??x退出
§4 两个重要的极限
sinxlim?1xx?01??lim?1???ex??x??xsinx例1 求lim.x?πx?π解令t?x?π,则sinx?sin?t?π???sint,所以
sinx?sintlim?lim??1.x?πx?πt?0t数学分析第三章函数极限高等教育出版社§4 两个重要的极限
sinxlim?1xx?01??lim?1???ex??x??xarctanx例2求lim.xx?0解令t?arctanx,x?tant,则
arctanxttlim?lim?lim?limcost?1x?0t?0xtantt?0sintt?01?cosx.例3求lim2x?0x2?x?xsin2sin??11?cosx122解lim???lim?.?lim22x?0x?0x?0x2?x?2x?2?数学分析第三章函数极限高等教育出版社2§4 两个重要的极限
sinxlim?1xx?01??lim?1???ex??x??x1??命题2lim?1???ex??x??证我们只需证明：
1??lim?1???e和x????x?xx1??lim?1???e.x????x?x设两个分段函数分别为
n1??f?x???1??,n?x?n?1,n?1,2,?;n?1??1??g?x???1??n??高等教育出版社n?1,n?x?n?1,n?1,2,?.数学分析第三章函数极限