全国各地市2012年模拟试题分类解析汇编第4部分：导数（2）
【山东省日照市2012届高三12月月考理】（2）设函数f(x)?x?6x，则f(x)在x?0处的切线斜率为 （A）0
（B）-1
（C）3
（D）-6
2f?(0)?(2x?6)|x?0??6【答案】D 解析：f(x)在x=0处的切线斜率为
x???3,x??3,y?0与曲线y?cosx【山东省日照市2012届高三12月月考理】（8）由直线所围成的封闭图形的面积为
13（A）2 【
? 案
（B）1（C）2 】
??（D）3 ：)?32答D 解?sin(?析封?(?闭32)?图3形的面积为：
3??cosxdx?sinx|3??sin33?3?3。
【山东省日照市2012届高三12月月考理】（22）（本小题满分14分） 已知定义在R上的二次函数
R(x)?ax?bx?c2满足2R(?x)?2R(x)?0，且R(x)的最小值为0，
函数h(x)?1nx，又函数f(x)?h(x)?R(x)。 （I）求f(x)的单调区间；
1（II）当a≤2时，若
x0??1,3?，求
f(x0)的最小值；
（III）若二次函数R(x)图象过（4，2）点，对于给定的函数f(x)图象上的点A（x1,y1），当
x1?32时，探求函数f(x)图象上是否存在点B（x2,y2）（x2?2），使A、B连线平行于x
轴，并说明理由。
（参考数据：e=2.71828?） 【答案】（22）解：（I）可得
?2R(?x)?2R(x)?0,?2R(?x)?2R(x),即R(?x)?R(x),
b?0,?R(x)?ax?c.2
又R(x)在x=0时取得最小值0，
?a?0,c?0.?R(x)?ax.?f(x)?h(x)?R(x)?1nx?ax,?f?(x)?1x?2ax?1?2axx2a2a.222,x?(0,??)
f?(x)?0,解得x?令
?当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：
2a2a2a 2ax f?(x) f(x) （0，2a） ＋ 增函数 2a（2a，＋?） － 减函数 2a0 极大值 所以，f(x)的单调递增区间是（0，2a），f(x)的单调递减区间是（2a，＋?）。
1
2a ????????????????5分
（II）?当0?a≤2时，2a≥1，
?x0??1,3?时，
f(x0)的最小值为f(1)与f(3)中的较小者. ????????7分
又f(1)??a,f(3)?1n3?9a,f(1)?f(3)??a?(1n3?9a)?8a?1n3.
1n3?当0?a≤8时，f(1)?f(3),f(x0)的最小值?a；
1n3?a?12时，f(1)?f(3),f(x0)的最小值1n3?9a. ????????9分
a?18，所以
f(x)?1nx?18x.2 当8（III）证明：若二次函数
R(x)?ax2图象过（4，2）点，则
3g(x)?f(x)?f().2 令
由（I）知f(x)在（0，2）内单调递增，
3f(2)?f(),即g(2)?0.2 故
????????????????11分
x??32e?2,g(x?)?41?9e322?0. 取
则
? 所以存在x2?(2,x),使g(x2)?0, 3x2?(2,??),使f(x2)?f().2 即存在
所以函数f(x)图象上存在点B（x2,y2）（x2?2），使A、B连线平行于x轴.
????????????????14分
?（说明：x?的取法不唯一，只要满足x?>2，且g(x)?0即可）
【山东省枣庄市2012届高三上学期期末理】21.（本题满分12分） 已知函数f?x??xlnx. （1）求函数f?x?的极值点；
（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线y?f?x?相切，求直线l的方程；
（3）设函数g?x??f?x??a?x?1?，其中a?R，求函数g?x?在?1,e?上的最小值.（其中e为自然对数的底数）
?【答案】21. 解：（1）f?x??lnx?1,x＞0.????????1分
1,f??x?1, 而
f??x?＞0?lnx+1＞0?x＞e＜0?lnx?1＜0?0＜x＜e
?1??1??0,??,??????上单调递增.??????3分 所以fx在?e?上单调递减，在?ex?1e是函数f?x?的极小值点，极大值点不存在.???????4分
所以（2）设切点坐标为
?x0,y0?，则y0?x0lnx0,切线的斜率为
lnx0?1,
所以切线l的方程为 又切线l过点 解得
y?x0lnx0??lnx0?1??x?x0?.????????5分
?0,?1?，所以有?1?x0ln
x0??lnx0?1??0?x0?.x0?1,y0?0. 所以直线l的方程为y?x?1.??????????????????7分
? （3）g?x??xlnx?a?x?1?，则g?x??lnx?1?a. ? g?x?＜0?lnx?1?a＜0?0＜x＜ea?1,g??x?＞0?x＞ea?1,
所以g?x?在?0,e ①当ea?1a?1?上单调递减，在?ea?1,??上单调递增.??????8分
??1,即a?1时，g?x?在?1,e?上单调递增，
所以g?x?在?1,e?上的最小值为g?1??0.???????????????9分 ②当1＜ea?1＜e，即1＜a＜2时，g?x?在1,ea?1?a?1?上单调递减，在?ea?1,e上单调递增.
?g?x?在?1,e?上的最小值为g?e??a?ea?1.??????????????10分
e?e③当
a?1,即a?2时，g?x?在?1,e?上单调递减，
所以g?x?在?1,e?上的最小值为g?e??e?a?ae.????????????11分
a?1综上，当a?1时，g?x?的最小值为0；当1＜a＜2时，g?x?的最小值为a?e；
当a?2时，g?x?的最小值为a?e?ae.????????????????12分
f(x)?12ax?2x2【2012山东青岛市期末文】已知函数
， g(x)?lnx.
（Ⅰ）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调函数，求a的取值范围；
??x??g(x)x?f?(x)?(2a?1)1(,e)在区间e内有两个不
（Ⅱ）是否存在正实数a，使得函数
同的零点？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）当a?0时，f(x)?2x在[1,??)上是单调增函数，符合题意．??1分
x??2a， 2a当a?0时，y?f(x)的对称轴方程为
由于
y?f(x)在
[1,??)??1上是单调函数，所以
，解得a??2或a?0，
综上，a的取值范围是a?0，或a??2． ??????????4分
??x??lnxx?(ax?2)?(2a?1)（Ⅱ），
因
??x?1在区间(e,e)内有两个不同的零点,所以
1,e??x??0，
即方程ax?(1?2a)x?lnx?0在区间(e22)内有两个不同的实根. ????5分
设H(x)?ax?(1?2a)x?lnx (x?0)，
H?(x)?2ax?(1?2a)?1x?2ax?(1?2a)x?1x2?(2ax?1)(x?1)x12a（舍）
???7分
? 令H(x)?0，因为a为正数，解得x?1或
x??1x?(,1)?e 当时, H(x)?0, H(x)是减函数；
?当x?(1,e)时, H(x)?0，H(x)是增函数. ??????????8分
1,e为满足题意，只需H(x)在(e??H??H?H??1()?0,e(x)min?H?1??0,(e)?0,)内有两个不相等的零点, 故
1?a?e?e2e?1 ???????????12分
f(x)?lnx?ax?1?ax?12解得
【2012吉林市期末质检文】设函数．
（Ⅰ）当a?1时，求曲线f(x)在x?1处的切线方程；
a?13时，求函数f(x)的单调区间；
512，若对于?x1?[1，2]，?x2?[0，
（Ⅱ）当
g(x)?x2?2bx?（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数
1]，使f(x1)≥g(x2)成立，求实数b的取值范围.