??)，【解析】函数f(x)的定义域为(0，f?(x)?1x?a?1?ax2 （2分）
f?(x)?1x?1（Ⅰ）当a?1时，f(x)?lnx?x?1，∴f(1)??2， ∴f(x)在x?1处的切线方程为y??2
f?(x)??x2?，∴f(1)?0
（5分）
?3x?23x2??(x?1)(x?2)3x2（Ⅱ）
（6分）
??∴当0?x?1，或x?2时，f(x)?0，当1?x?2时，f(x)?0
a?1故当
2)； 3时，函数f(x)的单调递增区间为(1，单调递减区间为(0,1)，(2,??). （8分）
a?
1
（1，2)3时，由（Ⅱ）可知函数f(x)在上为增函数，∴函数f(x)在[1，2]上
（Ⅲ）当
的最小值为f(1)??23
（9分）
若对于?x1?[1，2]，?x2?[0,1]使 f(x1)≥g(x2)成立?g(x)在[0,1]上的最小值不大于
?23（*） （10分）
512，x?[0,1]
51223与（*）矛盾
f(x)在(0,e]上的最小值
2g(x)?x?2bx?512?(x?b)?b22?又
①当b?0时，g(x)在[0,1]上为增函数，
[g(x)]min?g(b)??b2[g(x)]min?g(0)????②当0?b?1时，
12?b?1?512，由
?b2?512??23及0?b?1得，
[g(x)]min?g(1)?712?2b??1712??23，
③当b?1时，g(x)在[0,1]上为减函数，此时b?1
（11分）
1[，??）b2综上，的取值范围是 （12分）
【2012 广东佛山市质检文】设a?R,函数f(x)?lnx?ax. （1）讨论函数f(x)的单调区间和极值; （2）已知
x1?e(e?2.71828L)3和
x2是函数f(x)的两个不同的零点,
x2?e2a求的值并证明:.
【解析】在区间
?0,???上,
f?(x)?1x?a?1?axx. ????????2分
?0,???上的增函数,无极值； ???????4分 ?①若a?0,则f(x)?0,f(x)是区间
?②若a?0,令f(x)?0得:
x?1a.
(0,1在区间
(1a上, f?(x)?0,函数f(x)是增函数; ,??))在区间a?上, f(x)?0,函数f(x)是减函数;
11f()?ln?1??lna?10,????f(x)a在区间上, 的极大值为a.
?0,???,无极值； ???????7分
综上所述，①当a?0时,f(x)的递增区间
③当a?0时，f(x)的是递增区间
(0,1a，递减区间是a)(1,??)，
1f()??lna?1函数f(x)的极大值为a. ????????9分
1?ae?0(2) f(e)?0,∴2f(x)?lnx?12ee2a?12e. ????????10分
，解得:
x∴
3. ????????11分
5Qf(e2)?32??0f(e2)?52?e3又
,
2?035?f(e2)?f(e2)?0, ???????13分
3252(e,e)有唯一零点, (2e,??)f(x)f(x)由(1)函数在递减,故函数在区间
3因此
x2?e2. ????????14分
【2012河南郑州市质检文】设函数f?x??lnx?p?x?1?,p?R. （Ⅰ）当p?1时，求函数f?x?的单调区间；
（Ⅱ）设函数g?x??xf?x??p2x?x?1,?x?1?,求证：当
2??p?12时，有g?x??0成立.
?0,???.
【解析】（I）当p =1时，f(x)=lnx-x+1，其定义域为
f?(x)?1x?1所以
f?(x)?1x. ????2分
?1?0由
得0?x?1，
?0,1?；单调减区间为?1,???.???5分 所以f(x)的单调增区间为
（II）由函数
g(x)?xf(x)?p(2x?x?1)?xlnx?p(x?1)22,
?得g(x)?lnx?1?2px, ????7分
由（I）知，当p =1时，f(x)?f(1)?0，
即不等式lnx?x?1成立. ????９分
p??12时，g?(x)?lnx?1?2px?(x?1)?1?2px?(1?2p)x?0，
所以当
??即g(x)在1,??上单调递减，
从而g(x)?g(1)?0满足题意. ????12分 【2012北京海淀区期末文】已知函数
f(x)?e(x?ax?a)x2，其中a是常数.
（Ⅰ）当a?1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)在区间[0,??)上的最小值. 【解析】（Ⅰ）由
f(x)?e(x?ax?a)x2可得
? f'(x)xex[?2a(?2. x) ] ???????????????2分
当a?1时,f(1)?e ,f'(1)?4e. ???????????????4分 y?e?4e?x?1?所以 曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为，
即y?4ex?3e. ???????????????6分 （Ⅱ）令f'(x)?e[x?(a?2)x]?0，
解得x??(a?2)或x?0. ???????????????8分 当?(a?2)?0，即a??2时，在区间[0,??)上，f'(x)?0，所以f(x)是[0,??)上的增函数.
所以f(x)的最小值为f(0)＝?a; ???????????????10分 f'(x),f?x?x当?(a?2)?0，即a??2时, 随的变化情况如下表 x f'(x) f(x) 0 0 x2(0,?(a?2)) - ?(a?2) 0 (?(a?2),??) + f(0) ↘ f(?(a?2)) f(?(a?2))?a?4ea?2↗ 由上表可知函数f(x)的最小值为
.
??????????????13分 【2012泉州四校二次联考理】（本小题满分13分） f(x)?ex2设
1?ax，其中a为正实数.
43时，求f(x)的极值点；
a?（1）当
?13?,??（2）若f(x)为?22?上的单调函数，求a的取值范围.
f?(x)??ax2?2ax?1?e2x【解】∵
?1?ax?2， ……………………2分
a?43时，若f?(x)?0，则
（1）当
4x?8x?3?0?x1?212,x2?32，
x
f??x?1???,?2????
12
?13??,??22? ?
32
?3?,?????2?
?
0 极大值
30 极小值
?
f?x?1
递增 递减 递增
∴
x1?2是极大值点，
2x2?2是极小值点； ……………………6分
（2）记
g?x??ax?2ax?1，则
g?x??a?x?1???1?a?2，
?13??13?,?22??2,2??fx??f(x)?上的单调函数，则?上不变号， ∵为?在?ex22∵
?1?ax??0?13?x??,?g?x??0g?x??0?22?恒成立，………10分 ，∴或对
?1?4g???0a?g?1??0?0?a?1或3， 由或?2?a?43. …………………13分
∴a的取值范围是0?a?1或
【2012厦门期末质检理】（本小题满分13分）
已知函数f (x)＝ax2＋ bx＋l( a, b∈R, a≠0 )，函数f (x)有且只有一个零点，且f (-1)＝00. （Ⅰ）求实数a, b的值；
（Ⅱ）当x∈[－2,2]时，g( x)= f (x)不是单调函数，求实数k的取值范围.