2.3.2离散型随机变量的方差
【教学目标】
1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差． 2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 【教学重点】
离散型随机变量的方差、标准差 【教学难点】
比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 【教学过程】 一、前置测评：
1.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ? 则称 E??x1p1?x2p2???xnpn?? 为ξ的数学期望，简称期望．
2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1?p2???pn，则有p1?p2???pn?为平均数、均值
4. 期望的一个性质: E(a??b)?aE??b
5.若ξ～Β(n，p)，则Eξ=np 二、讲解新课：
问题探究： 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下:
11，E??(x1?x2???xn)?，所以ξ的数学期望又称nnx1 P
8 0.2
9 0.6
10 0.2
x2 P
8 0.4
9 0.2
10 0.4
试比较两名射手的射击水平. .
下面的分析对吗？
∵E???8?0.2?9?0.6?10?0.2?9
E?2?8?0.4?9?0.2?10?0.4?9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同.
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（你赞成吗？为什么？）
显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.样本方差的公式及作用是什么，你能类比这个概念得出随机变量的方差吗？ 1.方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值，是x1，x2，?，xn，?，且取这些值的概率分别是p1，p2，?，pn，?，那么,
D?＝(x1?E?)2?p1＋(x2?E?)2?p2＋?＋(xn?E?)2?pn＋? 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E?是随机变量ξ的期望． 2. 标准差:D?的算术平方根D?叫做随机变量ξ的标准差，记作??．
注：方差与标准差都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。 即学即练：
1.(课本第66页例4)随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值，方差和标准差。
2.若随机变量x满足P（x＝c）＝1，其中c为常数，求Ex和Dx. 答案：（1）3.5；2.92；1.71(2)c;0 3.刚才问题再思考：其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？，如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？ 解:∵E???8?0.2?9?0.6?10?0.2?9
?0.?2 E?2?8?0.4?9又∵D???0.4, D?2?0.8,
1?00. ?49 ∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.
∴甲射击水平更稳定.
如果对手在8环左右,派甲.
如果对手在9环左右,派乙. .方差的性质
（1）D(a??b)?a2D?；（2）D??E?2?(E?)2；
（3）若ξ～B(n，p)，则D??np(1-p) （4）若ξ服从两点分布，则D??p(1-p) 即学即练
已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____
答案50；25；5；99；100；10
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例题:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息： 乙单位不同职位月工资X2/元 获得相应职位的概率P2 1000 0.4 1400 0.3 1800 0.2 2200 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：
在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位. 即学即练
甲乙两人每天产量相同，它们的 次品个数分别为???，其分布列为 ? 0 1 2 3 ? 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 判断甲乙两人生产水平的高低？ 答案：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高 . 归纳总结：
1随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
2随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
3标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 4求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义
求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出D?、??.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．
5对于两个随机变量?1和?2，在E?1和E?2相等或很接近时，比较D?1和 甲单位不同职位月工资X1/元 获得相应职位的概率P1 1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1 13
D?2，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要 课堂练习：已知
?~B?n,p?,E??8,D??1.6，则n,p的值分别是（ ）
A．100和0.08； B．20和0.4； C．10和0.2； D．10和0.8 答案：1.D 2. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ 答案：2；1.98.
3. 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4 4.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量?和?，
已知?和 ?的分布列如下：（注得分越大，水
? p 1 a 2 0.1 3 0.6 平越高） ? p 1 0.3 2 b 3 0.3 试分析甲、乙技术状况
答案：1.D2.2；1.98.
课后练习与提高
1．甲、乙两个运动员射击命中环数X、Y的分布列如下： 8 9 10 环数k P(X=k) 0.3 0.2 0.5 P(Y=k) 0.2 0.4 0.4 其中射击比较稳定的运动员是（ ） A．甲 B.乙 C.一样 D.无法比较 2.设随机变量X~B（n，p），且EX=1.6，DX=1.28，则（ ） A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45
3.（2008 高考宁夏、海南卷）AB两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1 5% 10%
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X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 P 0.8 0.2 （1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1和DY2；
（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100-x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值。（注：D（aX+b）=a2DX） 答案：1.B 2.A 3.(1)4,12 (2)x=75时，f（x）=3
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