角平分线、垂直平分线培优六
基础回顾
例1 已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，P是AD
上任一点．求证：PE=PF．
例2 如图，在平面直角坐标系中，AF、BE为角平分线，MN⊥AF交y轴于N点． (1)求∠AME； (2)求证：AM=MN；
(3)连FG，问FG与AB的位置关系并证明，
1
练习
如图，A（-1，0），B（0，3），∠AB0=30°，∠OAB的角平分线与OB的垂直平分线相交于P点． (1)求P点的坐标；
(2)作∠ABO的平分线交AP于M，判断△PBM的形状．
方法运用
例4 如图，已知直线MN与MN同侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA+PB
最短，并说明理由.
B
·
A ·
M N
如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最长，
并说明理由.
A ·
M N
·B
2
练习
3．已知，如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB= 90°．D是BC上一点，CD=2，BD=BE，∠DBE=90°，连接CE，交AB于M，且CE=6．在AB上找一点P，使△PCD周长最小，并求出这个最小值．
问题探究
1、已知：△ACB为等腰直角三角形，点P在BC上，以AP为边长作正方形APEF. (1)如图①，当点P在BC上时，求∠EBP；
(2)如图②，当点P在BC的延长线上时，求∠EBP.
图① 图②
3
2、如图，A（-4，O），B(O，4)，AE⊥BE，∠OAE=22.5°． (1)求证：BD=2AE；
(2)若∠AP0=45°，问PA与PB有何位置关系．
图① 图②
3、如图，△ACO为等腰直角三角形． (1)如图①，C(-1，3)，求A点坐标；
(2)如图②，过A点作AE⊥AC，若∠EFO=∠CFO，求∠EOF的大小；
(3)如图③，当△ACO绕O点旋转时，过C点作CN⊥y轴，M为AO的中点，问
∠MNO大小是否发生变化？
图①
图②
图③
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