《应用运筹学》补充练习题参考答案
1、某商店要制定明年第一季度某种商品的进货和销售计划，已知该店的仓库容量最多可储存该种商品500件，而今年年底有200件存货。该店在每月月初进货一次。已知各个月份进货和销售该种商品的单价如下表所示：
月份 进货单价（元/件） 销售单价（元/件） 1月 8 9 2月 6 8 3月 9 10 现在要确定每个月进货和销售多少件，才能使总利润最大，把这个问题表达成一个线性规划模型。
解：设Xi是第i个月的进货件数，Yi是第i个月的销货件数（i=1, 2, 3），Z是总利润，于
是这个问题可表达为：
目标函数： Max Z=9Y1+8Y2+10Y3－8X1－5X2－9X3 约束条件：
200+X1≤500
200+X1－Y1+X2≤500 月初库存约束
200+X1－Y1＋X2－Y2＋X3≤500
200+X1-Y1≥ 0
200+X1-Y1+X2-Y2≥ 0 月末库存约束
200+X1-Y1+X2-Y2+X3-Y3≥ 0 X1，X2，X3，Y1，Y2，Y3≥0
EXCEL求解最优解结果：X1*= 300 ，X2*=500 ，X3*=0，Y1*=500,Y2*=0，Y3*=500,
Z*=4100
2、一种产品包含三个部件，它们是由四个车间生产的，每个车间的生产小时总数是有限的，下表中给出三个部件的生产率，目标是要确定每个车间应该把多少工时数分配到各个部件上，才能使完成的产品件数最多。把这个问题表示成一个线性规划问题
车间 甲 乙 丙 丁 生产能力（小时） 100 150 80 200 生产率（件数/小时） 部件１ 10 15 20 10 部件２ 15 10 5 15 部件３ 5 5 10 20 解：设Xij是车间i在制造部件j上所花的小时数，Y是完成产品的件数。
最终的目的是Y要满足条件： min{10X11+15X21+20X31+10X41，15X12+10X22+5X32+15X42，5X13+5X23+10X33+20X43} 可将以上非线性条件转化为以下线性规划模型： 目标函数： Max Z = Y
约束条件： Y≤10X11+15X21+20X31+10X41
Y≤15X12+10X22+5X32+15X42 Y≤5X13+5X23+10X33+20X43
X11+X12+X13≤100 X21+X22+X23≤150
X31+X32+X33≤80 X41+X42+X43≤200
Xij≥0（i=1，2，3，4；j=1，2，3）, Y≥0
EXCEL求解最优解结果：X11*= ，X12*= ，X13*=， X21*=， X22*=， X23*= X31*= ，X32*= ，X33*=， Y* =
3、一个投资者打算把它的100000元进行投资，有两种投资方案可供选择。第一种投资保证每１元投资一年后可赚７角钱。第二种投资保证每１元投资两年后可赚２元。但对第二种投资，投资的时间必须是两年的倍数才行。假设每年年初都可投资。为了使投资者在第三年年底赚到的钱最多，他应该怎样投资？把这个问题表示成一个线性规划问题。 解：设Xi1和Xi2是第一种方案和第二种方案在第i年年初的投资额（i =1, 2, 3），Z是总利
润，于是这个问题的线性规划模型是：
目标函数：Max Z= 2X22+0.7X31 （第三年年末的收益为当年第一方案和第二年第二方案的收益） 约束条件：
X11+X12≤100 000 (第一年年初总投资额不超过计划投资额)
X21+X22≤1.7X11 （第二年年初投资额不超过第一年第一方案投资收回的本利值） X31≤3X12+1.7X21 （第三年年初投资额不超过第二年年底收回的本利值） Xi1，Xi2≥0（i=1，2，3）
EXCEL求解最优解结果：X11*= ，X12*= ，X21*=， X22*=， X31*=， Z*= 4、有A，B两种产品，都需要经过前后两道化学反应过程。每一个单位的A产品需要前道过程２小时和后道过程３小时。每一个单位的B产品需要前道过程３小时和后道过程４小时。可供利用的前道过程有16小时，后道过程时间有24小时。每生产一个单位B产品的同时，会产生两个单位的副产品C，且不需要外加任何费用。副产品C最多可售出５个单位，其余的只能加以销毁，每个单位的销毁费用是２元。 出售A产品每单位可获利４元，B产品每单位可获利10元，而出售副产品C每单位可获利3元。试建立为了使获得的总利润达到最大的线性规划模型。
解：设X1，X2分别是产品A，产品B的产量，X3是副产品C的销售量，X4是副产品C的
销毁量，Z是总利润，于是这个问题的线性规划模型是： 目标函数：Max Z=4X1+10X2+3X3—2X4 约束条件： 2X2= X3+X4
X3≤5
2X1+3X3≤16
3X1+4X2≤24
X1，X2，X3，X4≥0
EXCEL求解最优解结果：X1*= ，X2*= ，X3*=， Z*= 5、考虑下面的线性规划问题：
目标函数：Max Z=30X1+20X2
约束条件： 2X1+ X2≤40
X1+X2≤25 X1，X2≥0
用图解法找出最优解X1和X2。
解：图解法结果如下，最优解：X1*=15; X2=10; Z*=650
X2 60 40 30 20 10 2X1+X2=40 最优解：X1*=15; X2=10; Z*=650 5 0 可行域 X1+ X2=25 20 30 40 60 5 10 X1
6、某厂生产甲，乙两种产品，每种产品都要在A,B两道工序上加工。其中B工序可由B1或B2设备完成，但乙产品不能用B1加工。生产这两种产品都需要C,D,E三种原材料，有关数据如下所示。又据市场预测，甲产品每天销售不超过30件。问应如何安排生产才能获利最大？试建立线性规划模型。 产品单耗 日供应量 单位成本 甲 乙 数量 单位 数量 单位 A 2 1 80 工时 6 元/工时 工序 B1 3 - 60 工时 2 元/工时 B2 1 4 70 工时 5 元/工时 C 3 12 300 米 2 元/米 原材料 D 5 3 100 件 1 元/件 E 4 1.5 150 千克 4 元/千克 其他费用（元/件） 26 29 单价（元/件） 80 100 解：设甲、乙两种产品分别生产X1，X2件，其中，甲产品在B1设备上加工X3工时、在B2设备上加工X4工时，则获利为：
Z=80X1+100X2-6(2X1+X2)-2X3-5*(X4+4X2)-2*(3X1+12X2)-1*(5X1+3X2)-
4*(4X1+1.5X2)-26X1-29X2 化简后得到： 目标函数：Max Z=15X1+12X2－2X3－5X4
s.t. 2X1+X2≤80
X3≤60 4X2+X4≤70 3X1+12X2≤300 5X1+3X2≤100 4X1+1.5X2≤150 X1≤30
X1=
X33+X4 (B1每工时完成
13件甲产品，共X3个工时，B2完成X4件)
Xj≥0, j=1,2,3,4
EXCEL求解最优解结果：X1*= ，X2*= ，X3*=， X4*= , Z*= 7、制造某机床需要A、B、C三种轴，其规格和需要量如下表所示。各种轴都用长5.5米长的圆钢来截毛坯。如果制造100台机床，问最少要用多少根圆钢？试建立线性规划模型。
轴类 A B C 规格：长度（米） 3．1 2．1 1．2 每台机床所需件数 1 2 4 解：用5.5米圆钢截所需规格长度的所有各种可能性如下表所示：
轴件（j） 1 2 3 4 5 所截各种轴件数量 所需圆钢剩余料头（m） 的量 A（3.1） B（2.1） C（1.2） 1 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 2 1 2 4 0.3 0 0.1 1.0 0.7 X1 X2 X3 X4 X5 设按第j种截法截Xj根圆钢，则相应的线性规划模型为： 目标函数： Min Z =?X j
j?15s.t: X1+X2 ≥100
X1+ 2X3+ X4 ≥200
2X2+ X3+2X4+4X5≥400
xj≥0且为整数（j=1,2.....,5）
EXCEL求解最优解结果：X1*= 0 ，X2*=100 ，X3*= 100 , X4*= 0 , X5*= 25 , Z*= 225 8、某木材公司经营的木材贮存在仓库中，最大贮存量为20万米，由于木材价格随季节变化，该公司于每季初购进木材，一部分当季出售，一部分贮存以后出售。贮存费为a+bu，其中a=7元/米，b=10元/米，u为贮存的季度数。由于木材久贮易损，因此当年所有库存应于秋末售完。各季木材单价及销量如下表所示。为获全年最大利润，该公司各季应分别购销多少木材？试建立线性规划模型。
季节 冬 春 夏 秋 购进价（元/米） 310 325 348 340 33
3
3
售出价（元/米） 321 333 352 344 3最大销售量（万米） 10 14 20 16 3
3 解：设Yi（i=1,2,3,4）分别为冬，春，夏，秋四季采购的木材量（单位：m），Xij（i，j=1，
3
2，3，4）代表第i季节采购用于第j季节销售的木材量（m），因此， 冬季以310元/ m3购入Y1, 当季以321元/ m3卖出X11,同时，以7+10*1的成本存储到春季出售的有X12,以7+10*2的成本存储到夏季出售的有X13, 以7+10*3的成本存储到秋季出售的有X14；同样地，春季购入 ......。
相应的线性规划模型为：
目标函数：MaxZ=（321X11+316X12+325X13+307X14－310Y1） +（333X22+335X23+317X24－325Y2）＋（352X33+327X34－348Y3）
+（344X44－340Y4）
s.t: Y1≤200 000
Y1－X11－X12－X13－X14=0 X11 ≤100 000
X12+X13+X14+Y2≤200 000 Y2－X22－X23－X24 =0 X12+X22 ≤140 000
X13+X14+X23+X24+Y3≤200 000 Y3―X33―X34＝0 X13+X23+X33 ≤200 000 X14+X24+X34+Y4≤200 000 Y4－X44 =0
X14+X24+X34+X44 ≤160 000
xij≥0，yi≥0（i,j=1,2,3,4）
EXCEL求解最优解结果：X11*= ，X12*= ，X13*= ，X14*= Y1*= X22*= ，X23*= ，X24*= ，Y2*= , X33*= ，X34*= ，Y3*= , X44*= ，Y4*= , Z*= 9、对以下线性规划问题：
Min Z＝2X1+3X2+5X3+2X4+3X5 s. t. X1+X2+2X3+X4+3X5 ≥4 2X1 - X2+3X3+X4+X5 ≥3 X1, X2, X3, X4,X5 ≥ 0
已知其对偶问题的最优解为 Y1*=4/5, Y2*=3/5, W* = 5。试求出原问题的解。 解：设原问题的两个剩余变量分别为：X6 ,X7
原问题的对偶问题为：
Max W＝4Y1+3Y2
s.t. Y1+2Y2 ≤2 松弛变量 Y3 Y1-Y2 ≤3 松弛变量 Y4 2Y1+3Y2 ≤5 松弛变量 Y5 Y1+Y2 ≤2 松弛变量 Y6 3Y1+ Y2 ≤3 松弛变量 Y7 Y1,Y2,Y3,Y4 ≥ 0 因为Y1*=4/5, Y2*=3/5,
因此，计算对偶问题松弛变量值为：Y**3=0，Y**4=14/3，Y5=8/5，Y*6=3/5，Y7=0
根据对偶性质(互补松弛定理)则有：X**X***
2=0，X3=0，4=0，X6=0，X7=0 进一步有： 2X1+3X5=5
X1+3X5=4 2X1+X5=3 得到：X**
1=1,X5=1
原问题的解为：X*1=1, X*2=0，X*3=0，X*4=0，X*5=1,Z* = 5
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