第5讲 与圆有关的综合问题
基础巩固题组(建议用时：40分钟)
一、填空题
?y≥0，
1．已知实数x，y满足?x－y≥0，
?2x－y－2≥0，
小值是________．
则点(x，y)到圆(x＋2)2＋(y－6)2＝1上点的距离的最
2．已知x，y满足x2＋y2－4x－6y＋12＝0，则x2＋y2最小值为________．
3．圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆M的方程为(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)．过
→→
圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则PE·PF的最小值是________．
4．(2013·南京29中模拟)过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B
两点，则AB的最小值为________．
5．(2014·南通模拟)若圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1在不等式x＋y＋1≥0所表示的平面区域内，
则a的最小值为________．
6．(2014·南京一中月考)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标
原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________． 7．直线2ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且
△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．
8．(2012·北京师大附中检测)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x
－2y＋1＝0的切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________． 二、解答题
?2??9．已知以点C?
?t，t?(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中
O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
10．(2014·宿迁联考)已知⊙C过点P(1,1)，且与⊙M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋
y＋2＝0对称． (1)求⊙C的方程；
→→
(2)设Q为⊙C上的一个动点，求PQ·MQ的最小值；
(3)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．
能力提升题组(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．过直线x＋y－22＝0上一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，
则点P的坐标是________．
2．(2014·南师附中月考)若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周
长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为________．
3．若直线2x－y＋a＝0与圆(x－1)2＋y2＝1有公共点，则实数a的取值范围是________． 二、解答题
4．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点．
(1)若AM⊥直线l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求∠PAQ的大小； (2)若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，求点A横坐标的取值范围．
第5讲 与圆有关的综合问题参考答案
基础巩固题组(建议用时：40分钟)
一、填空题 1．答案 42－1
2．解析 法一 点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上，故点(x，y)到原点距离的平方即x2＋y2
最小值为(13－1)2＝14－213. ?x＝2＋cos α，
法二 设圆的参数方程为?则x2＋y2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x2＋y2的最
?y＝3＋sin α小值为14－42＋62＝14－213.答案 14－213 ?x＝2＋5cos θ，
3．解析 如图所示，连接CE，CF.由题意，可知圆心M(2＋5cos θ，5sin θ)，设?
?y＝5sin θ，
则可得圆心M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝25，由图，可知只有当M，P，C三点共线时，→→→→
才能够满足PE·PF最小，此时|PC|＝4，|EC|＝2，故|PE|＝|PF|＝23，∠EPF＝60°，则PE·PF＝(23)2×cos 60°＝6.
答案 6
4．解析 设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，切线方程为x0x＋y0y＝1，分别令x＝0，y
1?1?
?、B??0，??＝0，得A?，0?x0??y0?，所以AB＝11
＋2＝x20y0
1?2?1?x20＋y0??2＋2?≥2.答案 2 ?x0y0?
5．解析
?d＝|a＋2|≥1，
2由题意，得?
?a＋1＋1≥0，
解得a≥2－2.答案 2－2
6．解析 设O到l的距离为d则|AB|＝1－d2直线p∶y＝k(x－2)，
22
1122d＋1－dS△AOB＝×d×21－d＝d1－d≤＝， 222
11
当且仅当d＝1－d即d＝时取到最大值，
22
2
2
2
|2k|12k221∵d＝ ∴＝ ∴k＝ |1＋k2|21＋k23
又A、B两点在一、二象限，∴k＜0，∴k＝－33答案 － 33
2，由点到2
7．解析 △AOB是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线2ax＋by＝1的距离等于1
2b2222
直线的距离公式，得＝，即2a＋b＝2，即a＝1－且b∈[－2，2]．点
22222a＋bP(a，b)与点(0,1)之间的距离为d＝a2＋?b－1?2＝ 取最大值，此时dmax＝3＋22＝2＋1.答案
12
b－2b＋2，因此当b＝－2时，d2
2＋1
8．解析 如图所示，由题意，圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心是C(1,1)，半径为1，由PA＝
1
PB易知四边形PACB的面积＝(PA＋PB)＝PA，故PA最小时，四边形PACB的面积最小．由
2于PA＝PC2－1，故PC最小时PA最小，此时CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0，P为垂足，
|3＋4＋8|PC＝＝3，PA＝PC2－1＝22，所以四边形PACB面积的最小值是22. 5答案 22 二、解答题
44?2??2＝t2＋2， 9．(1)证明 ∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋2.设圆C的方程是(x－t)2＋?y－?t?tt
4
令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.
t
11?4?
?×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值． ∴S△OAB＝OA·OB＝×?22?t?(2)解 ∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN. 1x
∵kMN＝－2，∴kOC＝，∴直线OC的方程是y＝.
22
21
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝5，此时圆心C到t2直线y＝－2x＋4的距离d＝95＜5，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝5，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的
距离d＝95＞5，圆C与直线y＝－2x＋4相离，∴t＝－2不符合题意舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
a－2b－2??2＋2＋2＝0，
(1)设圆心C(a，b)，则有 ?b＋2
??a＋2＝1.
10．解
?a＝0，
解得?则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入，得r2＝2.
?b＝0.故圆C的方程为x2＋y2＝2.
→→
(2)设Q(x，y)，则x＋y＝2，且PQ·MQ＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x
2
2
＋y－2.
→→所以PQ·MQ的最小值为－4.(也可由线性规划或三角代换求得)
(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)．
?y－1＝k?x－1?，由?22得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0. ?x＋y＝2，
因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解， k2－2k－1k2＋2k－1
故可得xA＝.同理，xB＝.
1＋k21＋k2yB－yA－k?xB－1?－k?xA－1?2k－k?xB＋xA?
所以kAB＝＝＝＝1＝kOP.
xB－xAxB－xAxB－xA所以直线AB和OP一定平行．
能力提升题组(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．解析 因为点P在直线x＋y－22＝0上，所以可设点P(x0，－x0＋22)，设其中一个切
点为M.因为两条切线的夹角为60°，所以∠OPM＝30°.故在
2
Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2，所以OP2＝4，即x20＋(－x0＋22)＝4，解
得x0＝2.故点P的坐标是(2，2)．答案 (2，2) 2．解析 由题意，圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，所以－
2a－b＋1＝0，即2a＋b－1＝0.因为?a－2?2＋?b－2?2表示点(a，b)与(2,2)的距离，所以