第二章 时域离散信号和系统的频域分析 解：C
2.3 问答题
1.何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数
Hmin(Z)有何特点？
解：一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则称之为最小相位系统。其特点如下： （1） 任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统和一个全 通系统级联而成。
（2） 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延迟（负 的相位值）最小。
（3）最小相位系统保证其逆系统存在。 2.何谓全通系统？全通系统的系统函数
Hap(Z)有何特点？
解： 一个稳定的因果全通系统，其系统函数Hap(Z)对应的傅里叶变换幅值束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即
MH(ejw)?1，该单位幅值的约
P(Z)Hap(Z)??Q(Z)因而，如果在Z
2.4 计算题
1. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)H(e入x(n)?jw?rbZ?r1??akZ?kk?1r?0N?Z?1??k???1k?11??kZN。
??k处有一个极点，则在其共轭倒数点Z?1??k处必须有一个零点。
)?H(ejw)ej?(w),如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输
Acos(w0n??)的稳态响应为
y(n)?AH(ejw)cos[w0n????(w0)]。
解：假设输入信号x(n)?ejw0n，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为
m???y(n)?h(n)*x(n)???h(m)ejw0(n?m)?ejw0nm????h(m)e?jw0n?jw0m?H(ejw0)e
上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。
x(n)?Acos(w0n??)?y(n)?1A[ejw0nej??e?jw0ne?j?]21 A[ej?ejw0nH(ejw0)?e?j?e?jw0nH(e?jw0)]21 ?A[ej?ejw0nH(ejw0)ej?(w0)?e?j?e?jw0nH(e?jw0)ej?(?w0)]2上式中
H(ejw)是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，
第二章 时域离散信号和系统的频域分析 H(ejw)?H(e?jw),?(w)???(?w)1AH(ejw0)[ej?ejw0nej?(w0)?e?j?e?jw0ne?j?(w0)] 2 ?AH(ejw0)cos(w0n????(w0))y(n)?2. 设x(n)?1,n?0,1??将x(n)以?0,其它~?(n)，画出x(n)和x?(n)的波形，4为周期进行周期延拓，形成周期序列x?(n)的离散傅里叶级数X(k)和傅里叶变换。 求出x解：图形略。根据离散傅里叶级数的定义可得
3?j2?kn41?jkn2?(k)?DFS[x?(n)]??x?(n)eXn?0??en?0??1?e?jk2? ?e?(k)以4为周期，或者 X?jk4?(ejk4??e?jk4?)?2cos(k)?e41?j?k21j?k2??jk4?
1?jkn1?ee(e?e)?X(k)??e2???e?111?jk?j?kj?k?j?kn?01?e2e4(e4?e4)??j?k1?j?k21?j?k41sin?k21sin?k4,
?(k)以4为周期，所以 X2??(n)]?X(e)?FT[x4jw2??X(k)?(w?k)?4k???? ????X(k)?(w?k)?2k???2?
??3. 求x(n)cos(k)e?4k??????jk4??(w??2k)?R5(n)的傅里叶变换。
j?N?1n?0解：根据傅里叶变换的概念可得：
X(e)?DTFT?RN(n)? ?
?jN?2?1?e?j? njN?2?jN ?21?e?j? Nee?e ???111?j?j??j?1?e?j?e2e2?e2N?1???j?????2??e?sinN?sin?,22??
?? ??2k?,k为整数?N, ??2k????????第二章 时域离散信号和系统的频域分析 ?当??2k?时，
X(e)? sinN?j??sin? 22?????
N?1? argX(ej?)???????argsinN?2?2??sin??2??
) 。当N=5时，即可得到所需的 X(e?N?1?2?2???????n? , Nn?? ? N?n?1?
?2?j?j?) 和 argX(e4.试确定下列信号的最低采样频率?s及奈奎斯特抽样间隔T（最大采样间隔Tmax）。
（1）sinc(100t) (2) (4)
sinc2(100t) (3) sinc(100t)?sinc(50t)
sinc(100t)?sinc2(60t) (5) sinc(100t)sinc(50t) (6) sinc10(100t)
解：根据抽样定理，只需求出信号的最高角频率，其两倍就是最低抽样频率，其倒数为最大抽样间隔。为求出信号的最高频率成分，先求其傅里叶变换。
① 因G?(t)令
???sinc(??2)，所以sinc(??21)?G?(t)
??2??0,??t，则sinc(?0?)?02???G2?0(?)??G(?) 2?0?02?0即
?sin(?0?)?????G2?(?)?(u(???0)?u(???0)) ?0?t?0?0其频谱如图2-4（a）所示。 ②令x1(t)?sinc(?1t)，x2(t)?sinc(?2t)
??x(t)?X(?)??G2?1(?) x1(t)?X1(?)??G2?(?)，21?1?11因为 x1(t)x1(t)?[X1(?)?X2(?)]，则有
2?1??sinc(?1t)?sinc(?2t)????[G2?(?)?G2?(?)]
2??1?2112其卷积结果如图2-4（c）所示。
两个不同宽度的矩形信号的卷积结果为梯形信号，下底宽度为两个矩形信号宽度之和，上底为两个矩形信号宽
度之差，高为两个矩形高度和最小宽度三者的乘积。图中梯形的高度为
1?????min(2?1,2?2) 2??1?2② 当x1(t)?x2(t)?sin(?0t)时，
sinc2(?0t)??????2??[1?]?(1?)G2?(?) 022?2?0?02?00其频谱图如图2-4（b）所示。
两个宽度相同的信号的卷积结果为三角形，卷积后的频宽为两者频宽之和。 时间信号与其频谱的对应关系如图2-4（a）（b）（c）所示：
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
图2-4
由此可知：
（1） 信号的最高频率
Tmax?（2） 信号的最高频率?m为200 rad/s，则?s（3） 信号的最高频率?m为100 rad/s，则?s（4） 信号的最高频率?m为120 rad/s，则?s（5） 信号的最高频率?m为150 rad/s，则?s（6） 信号的最高频率?m为10?1005. 设x(t)为带限信号，其频谱
1??(s) 2fm100?m为100 rad/s，则最低抽样频率
?s为200 rad/s，最大抽样间隔
?400rad/s，Tmax??200rad/s，Tmax?240rad/s，Tmax?300rad/s，Tmax??m???m???m???m?????200(s) (s) (s) (s)
?100?120?150?103rad/s，则?s?2?103rad/s，Tmax??103(s)
X(?)如图2-5(a)所示 t（1） 分别求出x(2t)、x()的奈奎斯特抽样频率?s、2fs及奈奎斯特间隔T；
2??k?t)对信号x(t)、x(2t)、x()分别进行抽样；画出抽样信号xs(t)、（2）用周期冲激串?T(t)???(t?82k???txs(2t)、xs()的频谱。
21?解：（1）x(2t)?X1(?)?X()，其频谱图如图2-5（b）所示。
22?2?8?16rad/s，奈奎斯特频率?s?2?2?m?32rad/s
频带宽度为2?m第二章 时域离散信号和系统的频域分析 fs?1??s4?m16?s ??Hz，奈奎斯特间隔T?fs162?2??tx()?X2(?)?2X(2?)，其频谱图如图2-5（c）所示。 2频带宽度为
?m2
22??（2）?s?2?m?16rad/s，T??s
?s8?4rad/s，?s?2??m?8rad/s，fs?1??s8?s ?Hz，T?fs42?2?1??8??其频谱为Xs(?)?X(??16k)，其频谱图如图2-5（d）所示。 ?X(??k?s)??k?Tk??????1??8?? x(2t)的抽样信号xs(2t)的频谱为Xs1(?)?X1(??k?s)??X1(??16k) ?Tk????k???tt1??8??x()的抽样信号xs()的频谱为Xs2(?)??X2(??k?s)??X2(??16k)
Tk????k???22其频谱图如图2-5（e）（f）所示。
图2-5
6. 图2-6（a）示出了一个系统，在该系统中抽样信号是一个正负号交替的冲 激串，如图2-6（c）所示，输入信号的傅里叶变换如图2-6（b）所示。
（1） 对?
（2）
（3）
?2?m?对??2?m?对??2?m?，画出xp(t)和
y(t)的傅里叶变换；
，确定能够从xp(t)恢复x(t)的系统； ，确定能够从
y(t)恢复x(t)的系统。