第二章 时域离散信号和系统的频域分析 （4） 为了使x(t)既能从xp(t)又能从值应为多少？
y(t)恢复出来，对?m来说，?的最大
图2-6
解：（1）
??
p(t)?FTk????[?(t?k2?)??(t???2k?)]
??????2???2??????(??k?)??(??k)及时移性质，有 由?[?(t?k2?)???2?2???k???k???k???P(?)???2???k???????(??kn?????)(1?e?jk??)???k????(1?(?1)k)?(??k????)
??(??(2n?1))??第二章 时域离散信号和系统的频域分析 xp(t)?x(t)p(t)?Xp(?)?FT1[X(?)?P(?)]2?12?????[X(?)??(??(2n?1))] ?2??n????1?????X(??(2n?1))?n????频谱如图2-6所示，由于???2?m，即
???2?m，满足抽样定理，频谱无重叠。
Y(?)?X(?)H(?)，如图2-6（g）所示。
（2）要从xp(t)中恢复x(t)，xp(t)需诚意调制信号，Xp(?)进行左右搬移
?，恢复到x(t)频谱X(?)?的样子；周期性可经过带宽为?m的低通滤波器即可恢复x(t)，该系统如图2-6(h)所示。
1??xp(t)cost?[Xp(??)?Xp(??)]?2??
H(?)??(u(???m)?u(???m))FT? （3）从y(t)中恢复x(t)，经过与（2）相同的系统即可完成，如图2-6(i)所示。
（4）要保证xp(t)或
y(t)都能恢复x(t)，必须保证Xp(?)和Y(?)不发生混叠，由频谱图可看出，当
????m时，不会发生混叠，则?max??/?m。
7.已知x(n)，确定其离散时间傅里叶级数系数。 （1） （2） （3） （4） 解：（1）
x(n)?1?sin(?n4),0?n?3，周期为4；
22x(n)?cos(?n)?sin(?n)
37x(n)?(?1)n
x(n)?cos(n??) 8?第二章 时域离散信号和系统的频域分析 ?jn?n1j4nx(n)?1?sin()?1?(e?e4)42j??0?n?3?113?j2kn13?j2(k?2)n13?j2(k?2)nck??e??e??e4n?08jn?08jn?011?e11?e11?e??11111?jk??j(k?)??j(k?)?48j8j1?e21?e221?e222?j2k?11?e12??1k??jk?4222cos?21?e2 13?2c0?1?(1?2)?441k?ck?(?1)k?1(1?2cos),k?1,2,3422?2?2?2??jnjn?jn1j3n1377x(n)?[e?e]?[e?e],N?21
22j?2?2?2?2??j2k?1?j2?(k?)21?j2?(k?)2??1（2）
1j21?7n?j21?7n1j21?3n?j21?3n?[e?e]?[e?e]22j
若取0?k?20，则有
1111，c?3???c18，其余ck?0，ck以21为周期。 c7?，c?7??c14，c3?2j2j22（3） x(n)是一个周期为2，频率?0??的周期信号，用欧拉公式
2?nj?nx(n)?(?1)n?e?e2
j与计算频谱系数ck的公式相对照，有
c1?1，c0?0，ck是一个周期等于2的周期信号。
（4）
欧拉公式可得
由信号x(n)的表达式可知，该信号的频率?0??8，周期N=16。由
x(n)?cos(n??)81?[e2j(??8n??)?e?j(?8n??)]
jn?jn1j??j??[e?e8?e?e8]2??第二章 时域离散信号和系统的频域分析 将此展开式和计算频谱系数ck的公式相对照，并设定k值的取值范围从k=-7到k=8，从而可求得在一个周期内的频谱系数为
?1?j?,k??1?2e??1ck??ej?,k?1
?2?0,?7?k?8且k??1??ck具有周期性，周期为16。
8.关于某一序列x(n)给出如下条件，试求x(n)。 （1）x(n)是周期的，周期为6； （2）
?x(n)?2；
n?05 （3）
?(?1)n?27nx(n)?1； （4）x(n)具有每个周期内最小的功率。
解：将x(n)的傅里叶级数系数记作k。由条件（2）可知，c0因(?1)nc?1； 3?e?j?n?e?j(2?6)?3n1，由条件（3）可知，c3?；
62由帕斯瓦尔定理，x(n)的平均功率P??ckk?05
因为每一个非零系数都在P中提供一个正的量，又因为c0和c3的值都已经确定，要使P最小，就只有选
c1?c2?c4?c5?0，则
x(n)?9.求下列序列的离散时间傅里叶变换：
11j?n11?e??(?1)n 3636?1?（1）x1(n)?????(n?3k)
k?0?4??n（2）x2(n)?cos?u(n?4)?u(n?5)?
3?n???n??sin()sin()????34
（3）x3(n)??????n?n????????（4） x4(n)?u(n)?u(n?5)
解：（1）
??1??1??j?nX1(e)??????(n?3k)e??????k?0?4?k?0?4?j???n3k?nn?????(n?3k)e??j?n?1?????e?j3k??k?0?4??3k1?1?1??e?j???4?3
第二章 时域离散信号和系统的频域分析 ?jn1j3n（2）cos?(e?e3)
32?n??方法一：有定义可得
X2(ej?14?j(??3)n14?j(??3)n)??e??e2n??42n??4?ej4(??)3????e?j5(??)3?2(1?e?j(??)3??ej4(???3)?e?j5(???3))2(1?e?j(???3)
)ej3??ej4??e?j5??e?j6???2(1?e?j??e?j2?)方法二：令
y(n)?u(n?4)?u(n?5)
Y(ej?)?ee?1?e?j?1?e?j?j4??j5?9sin(?)2 ??sin()2x2(n)?cos?n3?y(n)，由频移性质
j4(??)3e?1X2(ej?)?[2?j5(??)3?e?1?e???j(??)3??j4(??)3e??j5(??)3?e?1?e?j(??)3?ej3??ej4??e?j5??e?j6??j??j2?2(1?e?e)9?9?sin((??))sin((??))123?23]?[1?1?2sin((??))sin((??))2323?n??sin()1,???DTFTj?33 （3）?????Y1(e)????n?0,????3??n??sin()1,???DTFT4??4 ???Y2(ej?)????n?0,????4? 由频域卷积定理得
Xej??如图2-9所示
??11Y1ej??Y2ej??2?2????????2?Y1ej?Y2ej(???)d?
????