郑州题号 分数 一 2002级 高等数学（下） 理工 课程试题 （A卷） 二 三 四 五 六 七 总分
合分人： 复查人：
分数 一．（10分）
评卷人 ?xy,?x,y???0,0?,2?2设f?x,y???x?y.试证：f?x,y?在?0,0?点处不连续；但偏导数
??0,?x,y???0,0?.f?0,0?与f?0,0?存在。
x//y证明：（一）让动点P?x,y?沿直线y?0??0,0?时，limf?x,y??limx?0y?0x?0x.0x?022?0.
但让动点P?x,y?沿直线y?x??0,0?时，limf?x,y??limx?0y?xx?0x2x22?x1?. 2所以， limf?x,y?不存在。
x?0y?0（二）。因为lim?x?0f?0??x,0??f?0,0?0?0?lim?0.，所以，x?0?x?x f?0,0??0;同理，
x/f?0,0??0.
y/分数 评卷人 二．（10分）
?u?u?2y?设u?f?xy,?,其中u可微，求,.
?x?yx??
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?u解：??xf/12xy?f?y??u???;?2?2??y?x?/f///1.x?2f1.. 2x/三．（10分） 设 u?1xy2?2?z2，试证：uxx?uyy?uzz?0.
/////?z??y?x?y/yy???y?y??f?x?y,??xf?x?y,?
?x??x?????/y ?xy/y?y??lnx.f?x?y,??x?f.??1??x???1f1?.?。 2x?解：原微分方程的特征方程为r2?2r?3?0。 解之，得特征根为r1??1,r2?3. 所以，原方程的通解为y?c1e?c2e. 2.设z?lnx?y,求x?x3x???z?z?y. ?x?y解：
?z??x?z??yx?y2x,?z?z?y.??x?y?111x?y1x1y?. 1x?yy1?. y2所以，xx?y2x的敛、散性
3．判定级数?n?1n?1n3?n?5n?1解：因为limnn??3?n?51?1,且?n?1?1n102n2收敛，故原级数也收敛。
4．交换积分次序：I??dy?f?x,y?dx。
y1
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?y?x?1,解：积分区域D:?.，如图所示。交换积分次序后
0?y?1?则I??dx?f?x,y?dy.
001x5．求?yds，其中C是折线段y?1?|1?x|,?0?x?2?.
C?x,0?x?1,解：y??如图所示。
2?x,1?x?2.??Cyds??yds??yds??x2dx???2?x?2dx?2.
OAAB0112二．（共8分）
设z?xy?z?zy??f?x?y,?,其中f可微，求,.
?x?yx??分数 /评卷人 解：
?z??x?x?y/xy???y?y??f?x?y,??xf?x?y,?
?x??x?????x ?yx?z??yy?1?/y?y?f?x?y,??x?f.1?1x????f?y??????。
22???x???//?x?y/yy???y?y??f?x?y,??xf?x?y,?
?x??x?????/y ?xy/y?y??lnx.f?x?y,??x?f.??1??x???1f1?.?。 2x?三．（共8分）
设x2?u?v?ucosv,xy?usinv，求,.
?x?x分数 评卷人 导，
2??x?ucosv,.两边同时关于x求偏解：对方程组???xy?usinv.得：
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?u?v???u2x?cosv?usinv,?2xcosv?ysinv,?????x?x?x.以消元法解之，得：?. ??u?v?vycosv?2xsinv?y???sinv?ucosv..???x?x?xu??
四（共8分） 1。设S是锥面z?2??x????S分数 评卷人 x?y22介于平面z?0和平面z?1之间部分，求
?dS. y?z??222解：S向xoy平面上的投影区域为D:x? 由S:z?y2?1.
x?y22，
?z??x故
xx?y22?z,?2?yyx?y22,dS??z??1?????x?x22??z?????y??dxdy???22dxdy.
??x????Sy2?02?22??z?dS????x???D?10y2?????22???x??y??2dxdy?22????D??2?dxdyy??2 ?22?d???rrdr?n?122?.
五 。（共10分） 求幂级数
解：（一）因为??lim|an?1|?limn???nxn?1的和函数 s?x?，并求级数?n?1?n2n?1的和。
分数 评卷人 ann?1?1,所以，收敛半径R?1.
n??n?n?1 又在端点x??1处，显然级数发散，故级数?nxn?1的收敛域为??1,1?.
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（二）令s?x???nx,x???1,1?.由逐项积分，得：
n?1n?1?
?x0s?x?dx??xn?1?nx??x?,所以，s?x?????1?x1?x??/?1?x?12.
（三）??1??s???4. n?1?2?n?12?n分数 评卷人 六。（共10分）
1 已知f?0???,求f?x?，使曲线积分
2xL??e?f?x??ydx?f?x?dy与路径无关，其中f?x?可微。 解：因为??e?f?x??ydx?f?x?dy与路径无关，所以，
???e?f?x??y????f?x?? ，即： ?xLx?y?x
f?x??f?x???e.此为一阶线性微分方程。
x/12x?dxxdx?x??由公式其通解为f?x??e????ee?dx?C??e??e?C?。
?????2?1代入初始条件f?0???,得：C=0.
21x故f?x???e.
2 七。（共10分）
S计算??|?8z?1?xdxdy?4yzdzdx?21?zdxdy,
2??分数 ， 评卷人
其中S是曲面z?1?x?分的下侧。
2解：补充平面S1:z?3,??x??2y2?1z?x?y22介于平面z?1和平面z?3之间部
y2?2??,取上侧。记?为由S,S1.所围成的区域。?第 5 页
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