基于LABVIEW的信号频谱分析仪设计
2 数据采集和谐波分析理论
2.1 数据采集理论基础
数据采集系统[5]中以计算机作为处理机。众所周知，计算机内部参与运算的信号是二进制的离散数字信号，而被采集的物理量一般是连续的模拟信号。因此，在数据采集系统中同时存在两种不同形式的信号：连续模拟信号和离散数字信号。连续的模拟信号转换为离散的数字信号，经历两个断续过程[10]： (1)时间断续
对连续的模拟信号x(t) 按一定的时间间隔TS，抽取相应的瞬时值(也就是通常所说的离散化) ，这个过程称为采样。连续的模拟信号x(t)经过采样过程后转换为时间上离散的模拟信号xs(nTs)(即幅值仍是连续的模拟信号) ，简称为采样信号。 (2)数值断续
把采样信号xs(nTs)以某个最小数量单位的整数倍来度量，这个过程称为量化。采样信号xs(nTs) 经量化后变换为量化信号xq(nTs)，再经过编码，转换为离散的数字信号x(n)(即时间和幅值是离散的信号)， 简称为数字信号。
在实际工作中信号的抽样是通过A/D芯片来实现的。通过A/D，将连续信号x(t)变成数字信号x(nTS)，x(t)的傅立叶变换X( j?)变成X(ejw)。 A/D转换原理如图2.1 所示：
图2.1 A/D 转换原理
模拟信号经过(A/D)变换转换为数字信号的过程称之为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率fs ，重复出现一次。为保证采样后信
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号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成份的两倍，这称之为采样定理。如图2.2 所示，由于不满足采样定理，信号产生了混叠。
图2.2 信号正常采样和欠采样
信号的采样定理是连结离散信号和连续信号的桥梁，是进行离散信号处理与离散系统设计的基础。
采样定理(sampling theory) 若连续信号x(t)是有限带宽的，其频谱的最高频率
为fc对x(t)抽样时，若保证抽样频率
fs?2fc（或?s?2?c,Ts?π/?c)
那么，可由x (nTs)恢复出x(t) ，即xs(nTs)保留了x(t)的全部信息。
2.1.1 快速傅立叶变换(FFT)
DFT 是信号处理中最基本也是最常用的运算，它涉及到信号与系统的分析与综合这一广泛的信号处理领域。对N 点序列x(n)，其DFT变换对定义为：
nkX(k)??x(n)WNn?0N?11x(n)?NK?0?X(k)WN?1(k?0,1,2,?,N?1,WN?e?nKN?j2πKN) (2-1)
DFT之所以在各个学科领域获得广泛应用其中一个非常重要原因是因为它存在有高效快速的算法---快速傅立叶变换，简称FFT。习惯上是指以1965 年库利-图基(Cooley-Tukey)算法为基础的一类高效算法，它的出现和发展对推动信号的数字处理技术的变革和发展起到着重大作用，是数字信号处理发展史上的一个转折点也，可以称之为一个里程碑。 (1)FFT 算法的基本思想
已知N 点有限长序列x(n)的DFT如式(2-1)所示。通常X(k)可以为复数，给定
nK的数据x(n)可以是实数也可以是复数。DFT 可以看作是以WN为加权系数的一组
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样点x(n)的线性组合.将式(2-1)中第一个式展开得
x(0)?W0(0)x(0)?W0(1)x(1)???W0(N?1)x(N?1)x(1)?W1(0)x(0)?W1(1)x(1)???W1(N?1)x(N?1)?x(N?1)?WN?1(0)x(0)?WN?1(1)x(1)???WN?1(N?1)x(N?1) (2-1)
可见上式中,每完成一个频谱样点的计一算,需要作N 次复数乘法和(N-1)次复数加法。对整个X(k)序列的N 个采样点的计算，就得作N2 次复数乘法和(N-1)次复数加法。而且每一复乘又含有4 次实乘和2 个复加；每一复加又包含有2 个实加。这对一个实际的信号长度来说，每当点较多得时，这么大的数组，势必占用很长的计算时间。即使是目前运算速度很快的通用PC 机，往往也难免失去实时性。可见DFT 虽然解决了利用计算机进行信号与系统的分析问题，但尚未解决实时性问题，因而直接计算DFT，在实际应用中有其局限性为了提高速度还有赖于提出高效的算法。
DFT运算时间能否减少，关键在于实现DFT运算是否存在规律性以及如何利用这些潜在的规律。通过以下对式(2-1)的分析得知指数因子存在周期性，即
kk?NWN?WNkN(k?1N)(n?mN)WN?WN 1，m为整数 (2-3)
式中下标N 是为了强调以N为周期。由于
WNN?e?j(2π)NN?1WN?N1
kN所以WN又称为对模N 的N 次单位根，WN称为离散傅立叶变换核
(FourierKernel) 快速傅立叶变换的实现，在很大程度上取决于这个变换核周期性和基于下列关系而存在着许多可压缩的重复运算(冗余量)， 即
NKNN/2WN?1，WN?1，WN?-1WN/4N?-j，W3N/4N?j，WK2N?WK/2N (2-4)
因此WN除具有周期性以外,还具有对称性,即
K?N/2K (2-5) WN?-WN此外，由于DFT 的复乘和复加的次数都是与N2成正比的,因此若把长序列分解为短序列,例如把N 点DFT 分解为2 个N/2 点DFT 之和时,其结果使复乘次数
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减少到近似等于2?(N /2)2 ??N2/ 2 ，即为分解前的一半。由此可见FFT 的基本思想是把原始的N 点序列，依次分解成一系列短序列。充分利用DFT 计算式中指数因子N W 所具有的对称性质和周期性质，进而求出这些短序列相应的DFT 并进行适当组合，最终达到删除重复计算、减少乘法运算和提高速度的目的。 (2)FFT 算法的软件实现
在各种离散傅立叶变换的应用中，其软件部分实现FFT 运算的程序段是必不可少的，并且一般均作为一个主要的子程序调用。FFT 算法程序的基本部分,现在一般已经是一个常规的程序，从早期的使用FORTRAN 语言到现在的采用C (C++)语言编写的都能比较方便的找到。一些著名的应用软件，如MATLAB、MATHMATICA等，把FFT()作为它们的一个内部函数，用一条语句直接调用即可完成运算。
在LabVIEW 中也提供了基本FFT 函数，但直接调用不会得到频谱，必须经过一系列变换才能得到幅频特性。其所采用FFT 算法为按频率抽取基2 FFT 算法。将N 点DFT输入序列x(n)的频域X(k)，在频域分解成2 个N/2 点序列Xl(k)和X2(k)，前者是从原序列中按偶数序号抽取而成，而后者则按奇数序号抽取而成，这样有规律地按奇、偶次序逐次进行分解便构成这种算法。其程序实现是由C 语言编程而后生成动态连接库，然后在LabVIEW 中以CLF 节点形式调用。这种算法要求输入的采样点必须是2的整数幂如果不是2的整数幂则自动转化为DFT运算。
2.1.2 准同步采样
电气量采集和计算的方法主要有两种：一种是直流采样法，另一种是交流采样法。直流采样法，即采样的是经过整流后的直流量。交流采样法是按一定规律对被测信号的瞬时值进行采样，再用一定的数值算法求得被测量。在实验电路设计中电压和电流信号是在交流侧获取的，采用的是交流采样，通常所说的同步采样和准同步采样均属于交流采样法。 (1)同步采样法
同步采样法是指采样时间间隔Ts 与被测交流信号周期T 及一个周期内采样点数N 之间满足关系式T=N*Ts。 同步采样法又被称作等间隔整周期采样或等周期均匀采样。同步采样法需要保证采样截断区间正好等于被测连续信号周期的整数倍。
(2)准同步采样法
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由于在实际采样测量中，采样周期不能与被测信号周期实现严格同步，即N 次采样不是落在2π区间上，而是落在2π+ ?区间上(?=NTs-T0)称为同步偏差或周期偏差其值可正可负)，此时测量结果就将产生同步误差。为解决该项误差，在八十年代初清华大学戴先中先生提出了准同步采样法，即在|?|不太大的情况下，当满足N?2π??M时，通过适当增加采样数据量和增加迭代次数来提高测2π量准确度的新方法，即通过数值积分公式进行迭加运算，就可以获得对采样信号平均值的高准确度估计，达到消除同步误差的目的。准同步采样方法的最大特点是去掉了同步采样中的同步环节，它不要求采样周期与信号周期严格同步，不要求同步环节，对第一次采样的起点无任何要求。
准同步采样在算法上主要的依据是求取周期信号f(x)的平均值f(x)计算公式如下：
f(x)?1x0?2πf(x)d(x) （2-6） ?x2π02π为f(x)的周期，X0 是积分起点对应的角度值。在采样过程中，通过增加采样数据量，在满足一定采样条件时可采3 -5 个周期，通过数值积分公式进行叠代运算，就可以获得对f(x)的高精度估计，消除同步误差的影响。
对于信号频率在50Hz上下有较小浮动，必然使得同步采样时产生较大的同步误差，而准同步采样算法恰恰在消除同步误差影响方而体现了自己的优点，因此，对频率有一定变化的瞬变波形电参量的测量，采用准同步采样算法是很适宜的。
使用准同步采样实际上是加了一个准同步窗因此准同步窗，是基于准同步采样技术的窗函数。在对含有谐波的电网信号使用准同步采样时，需要采样周期越多越好，不过一般取3-4 个周期即可达到精度。图2.3 是采样周期为3，每周期采样点数为40， 信号总采样长度为121 点时的准同步窗函数及其频率特性。
(a)准同步窗函数
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