第二十四章 解直角三角形
24.1 测 量
教学目标
1、 在探索基础上掌握测量。 2、 掌握利用相似三角形的知识 教学重难点
重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。 难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 教学过程
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？
你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．
图25.1.1
如图24．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．
如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．
试一试
如图24．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．
你知道计算的方法吗？
实际上，我们利用图24．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．
练习
1． 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
2． 请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．
1
图25.1.2
习题24．1
1． 如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）
2． 在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？
3． 如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．
小结与作业:
小结本节内容:利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边 作业:一课一练
教学反思：
（第3题） （第1题）
24.2 直角三角形的性质
【教学目标】：
1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 【教学重点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 【教学难点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 【教学过程】：
一、 引入 复习提问：（1）什么叫直角三角形？
（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?
二、新授
（一）直角三角形性质定理1 请学生看图形： 1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？
2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。 3、巩固练习：
练习1：（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数 （2）在
Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。
2
练习2 ：在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有 。（3）与∠B相等的角有 。
（二）直角三角形性质定理2
1、实验操作： 要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片
（l）量一量斜边AB的长度（2）找到斜边的中点，用字母D表示 （3）画出斜边上的中线（4）量一量斜边上的中线的长度
让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？ 三、巩固训练：
练习3 ： 在△ABC中， ∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
练习4： 已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。求证：（1）ED=EB (2)∠EBD=
∠EDB
（3）图中有哪些等腰三角形？
练习5： 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与DE有什么样的关系存在? 四、小结：
这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理？ 1、直角三角形的两个锐角互余？ 五、布置作业
24.3 锐角三角函数
第一课时.锐角三角函数
教学目标
3、 正弦、余弦、正切、余切的定义。 4、 正弦、余弦、正切、余切的应用 教学重难点
重点：正弦、余弦、正切、余切。
难点：正弦、余弦、正切、余切的应用。 教学过程
在§24．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即
△ABC∽△A′B′C′．
1按的比例，就一定有 500
3
B?C?A?C?1??， BCAC5001就是它们的相似比． 500B?C?BC?当然也有． A?C?AC我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示（如图24．2．1）．
图25.2.1
前面的结论告诉我们，在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．
思考
一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？
图25.2.2
观察图24．2．2中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知 Rt△AB1C1∽Rt△_________∽Rt△________， 所以
B1C1＝_________＝____________． AC1可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的．
我们同样可以发现，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．
因此这几个比值都是锐角A的函数，记作sinA、cosA、tanA、cotA，即
sinA＝
?A的对边?A的邻边，cosA＝，
斜边斜边?A的对边?A的邻边，cotA＝．
?A的邻边?A的对边tanA＝
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数．
显然，锐角三角函数值都是正实数，并且
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0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．
根据三角函数的定义，我们还可得出
sin2A?cos2A＝1，
tanA〃cotA＝1．
例1 求出图24．2．3所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值． 解
图25.2.3 AB?BC2?AC2?289?17，
BC8AC15??，cosA＝， AB17AB17BC8AC15??tanA＝，cotA＝． AC15BC8练习:P107.1.2.
小结本节内容: 正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数 作业:一课一练
教学反思：
sinA＝
第二课时
教学目标
1、 探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。 2、 掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。 3、掌握三角函数定义式：sin A=
?A的对边?A的邻边, cos A=,
斜边斜边tan A=
?A的对边?A的邻边, cot A=
?A的邻边?A的对边教学重难点
重点：三角函数定义的理解。 难点：掌握三角函数定义式。 教学过程 探索
根据三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少．
通过计算，我们可以得出
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图25.2.4
对边1?， 斜边2sin30°＝
即斜边等于对边的2倍．因此我们可以得到：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 思考
上述结论还可通过逻辑推理得到．如图25．2．4，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作∠BCD＝60°，点D位于斜边AB上，容易证明△BCD是正三角形，△DAC是等腰三角形，从而得出上述结论．
做一做
在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列∠A的四个三角函数值：
（1） ∠A＝30°；（2） ∠A＝60°；（3） ∠A＝45°．
为了便于记忆，我们把30°、45°、60°角的三角函数值列表如下： α sinα cosα tanα cotα 130° 245° 1 1 160° 2 练习 求值： 2cos60°＋2sin30°＋4tan45°． 四、学习小结:记忆特殊角的函数值 五、布置作业 习题：1
教学反思：
第三课时
教学目标
1、 进一步复习直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。 2、 进一步掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。
3、掌握三角函数定义式：sin A=
?A的对边?A的邻边, cos A=,
斜边斜边6