初中数学绝对值问题专题讲义（零点分段法、化简、最值）
一、去绝对值符号的几种常用方法
解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号
根据实数含绝对值的意义，即|x|=??x(x?0)，有
??x(x?0)?x??c或x?c(c?0)?c?x?c(c?0)??|x|
?(c?0)??x?R(c?0)?2利用不等式的性质去掉绝对值符号
利用不等式的性质转化|x| c 对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a≤|x|≤b?a≤x≤b或－b≤x≤－a”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。 3利用平方法去掉绝对值符号 对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x|2=x2可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取 1 值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。 4利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法，是指：若数x1，x2，??，xn分别使含有|x－ x1|，|x－x2|，??，|x－xn|的代数式中相应绝对值为零，称x1，x2，??，xn为相应绝对值的零点，零点x1，x2，??，xn将数轴分为 n+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。 5利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于|x?a|?|x?b|?m或|x?a|?|x?b|?m(m为正常数)类型不等式。对|ax?b|?|cx?d|?m(或 二、如何化简绝对值 绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这 2 类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 （一）、根据题设条件 例1：设（A） 化简 （B） 的结果是（ ）。 （C） （D） 思路分析：由可知可化去第一层绝对值符号，第 二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去． 解： ∴应选（B）． 归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． （二）、借助数轴 例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式 的值等于（ ）． （A） （B） （C） 思路分析 由数轴上容易看出 ，这就为去掉绝对值符号扫清了障 碍． 解：原式∴应选（C）． （D） 3 归纳点评 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． （三）、采用零点分段讨论法 例3：化简 思路分析 本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于 的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为 负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论． 解：令 得零点： ；令 得零点： ，把数轴上 的数分为三个部分（如图） ①当 时, 时， 时， ， ， ∴ 原式②当∴原式③当 ∴ 原式 ∴ 4 归纳点评：虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段 内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案． 误区点拨 千万不要想当然地把 等都当成正数或无根据地增 加一些附加条件，以免得出错误的结果． 三、带绝对值符号的运算 在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手： （ 一）、要理解数a的绝对值的定义。 在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。 （二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。 5