1．什么是线性空间?
答:设V是一个非空集合,P是一个数域,在V中定义了一个加法运算,在P和V的元素之间定义了一个数量乘法运算.如果上述两种运算满足以下规则,那么就称V为P上的一个线性空间(或称向量空间).
1).?+?=?+?；
2).； （?+?）+?=?+（?+?）3).V中有一个元素0，???V都有?+0=?，0称为V的零元素； 4).???V，存在??V，使得?+?=0，?称为?的负元素； 5).1??=?； 6).k(l?)?(kl)?； 7).(k?l)??k??l?； 8).k(?+?)=k?+k?；
其中?，?，?表示V中的任意元素；k，l表示P中的任意数．
2．非空集合Ｖ在定义了加法和数乘运算之后成为P上的一个线性空间，V能否再定义另外
的加法和数乘运算成为P上的另一个线性空间？ 答：有可能．例如，全体二元实数列构成的集合
V?{(a,b)|a,b?R}．
1).定义(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d),k?则V成为R上的一个线性空间 (a,b)?(ka,kb)，2).定义(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d?ac),k?(a,b)?(ka,kb?上的另一个线性空间.
3．线性空间V有哪些简单性质与结论？ 答：1）零元素是唯一的；
2）?的负元素是唯一的；
3）k??0?k?0或??0； 4）?（??）=?； 5）?； （k?）?（?k）??=（k??）6）k(a?b)?ka?kb；
7）??,??V，存在唯一的??V，使得???=?.
证明：容易验证1）—3）， 4）因为?+（??）. （??）=0，所以?为（??）的负元，即?=?k(k?1)2a)，则V成为R z5）?k??(?k)??(k?(?k)??0,?(?k)???(k?).另一式子可类似证明. 6）k(???)?k(??(??))?k??k(??)=k??(?k)?=k??k?.
7）???(???)??,??????是方程?+?=?的解.又若?1也是?+?=?的解， 则?+?=?+?1.两边左加??，有?=?1.所以方程?+?=?在V中有唯一解.
4．判断一个非空集合M不是线性空间有哪些基本方法？ 答：1）M是至少含两个元的有限集；
2）M关于定义的某一运算不封闭； 3）M不满足8条规则中的任一条.
5．线性空间的例子.
答：1）数域P按照数的加法和乘法构成自身上的一个线性空间.特别的，实数域R和复数域 C按照数的加法和乘法都是自身上的线性空间.
2）已知数域P?数域P，按照数的加法和乘法，P构成P上的线性空间.
3）三维空间中与已知向量的全体再添加零向量，对于向量的加法与数乘运算构成一个 实线性空间.
4）分量属于数域P的全体n元数组，对于n元数组的加法与数乘构成P上的一个线性 空间，记作P.
5）无穷实数列的全体：
nI?={(x1，x2，?)|xi?R，i?1,2?}，对于
(x1，x2，?)?(y1，y2，?)?(x1?y1，x2?y2，?)，（kx1，x2，?）=(kx1，kx2，?),k?R构成
一个实线性空间.
6）n元齐次线性方程组Ax?0的解向量的全体，对于n维向量的加法和数乘构成P上的线性空间（为P的子空间）.
7）元素属于数域P的m?n矩阵的全体，对于矩阵的加法与数乘构成P上的线性空间.
8）数域P上全体n阶对称（反对称，上三角）矩阵对于矩阵的加法与数乘构成P上的线性空间.
9）设A?Pm?nn，则全体与A可交换的矩阵的集合，对于矩阵的加法与数乘构成Pm?n的
一个线性空间.
10）数域P上全体满足条件trA=0（trA表示A的迹，即A的主对角线元素之和）的n阶矩阵的集合，对于矩阵的加法和数乘构成P上的一个线性空间.
11）数域P上全体一元多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P上的线性空间，记作P[x].
12）次数小于n的一元多项式及零多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘
法构成P上的线性空间，记作P[x]n.
13）集合W={f(x)|f(x)?R[x]n且f(1)?0}对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成R上的线性空间.
14）数域P上形如a1x?a3x3?a5x5???a2n?1x2n?1的多项式的全体，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P上的线性空间.
15）数域P上多项式g(x)的倍式的全体：W={f(x)|g(x)|f(x)}，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P上的线性空间. 16）由0及数域P上的m元n次多项式
f(x1，x2，?,xm)?k1???km?n?kmk2ak1k2?kmx1k1x2?xm(k为正整数)的全体，对于多项式的加
法及数与多项式的乘法构成P上的线性空间，其中ak1k2?km?P.
17）对于在区间[a,b]上的实函数的全体，对于函数的和及数与函数的积，构成R上的线性空间.[a,b]上的连续实函数全体为其子空间，记作C[a,b].
18）全体形如
a0?a1sint?b1cost?a2sin2t?b2cost2???ansinnt?bncosnt的2实函数，对于函数的和及数与函数的积，构成R上的线性空间.
6．下列集合关于指定运算均不构成线性空间：
1）起点在原点，终点在不经过原点的直线上的空间向量的全体，按向量的加法与数乘运算；
2）非齐次线性方程组AX=b(b?0)的解向量的全体，按向量的加法与数乘运算； 3）数域P上次数不低于定数n的多项式的全体并添上零多项式，按多项式的加法与数乘运算；
4）有理数域定义运算：???????,k???5）设P为有理数域，对整数集定义运算：
k?; 2????????1,k????.
证：1）集合不含零向量，所以不是线性空间.
2）如果集合是空集，则不是线性空间. 如果集合非空，则由于不含零向量，所以也 不是线性空间.
3）因两个次数不低于n的多项式之和的次数可能低于n，即关于多项式的加法不封闭，所以不是线性空间.
4）因1???性空间.
5）取??3,k?l?1则,(k?l)???3,而k???l???5.故(k?l)????，所以不是自身上的线??(??0)不满足线性空间定义中的规则5）
2（k???l??），不满足线性空间定义中的规则7），所以集合不是线性空间.
7.什么叫做向量的线性相关和线性无关？
答:设V是数域P上的线性空间,且ai?V?i?1,?,s,s?1?，如果存在一组不全为零的数
ki?P?i?1,?,s?，使得?k1a1?k2a2???ksas?0?， （1）
那么称向量组a1,?,as是线性相关的，否则，称它们是线性无关的.
1一个向量不是线性相关,就一定是线性无关,两者必居其一且仅居其一. 注 ○
2a,?,a线性无关 ?（1）式仅当k???k?0成立. ○1s1s
8.设?1,?,?n线性相关,是否对任意一组不全为零的k1,?,kn都有k1?1???kn?n?0？ 答:不一定，比如
??0是线性相关的，它对一切非零数k都有k??0.而
???1,0?,???2,0?就不可能对一切非零数k1,k2使得k1??k2??0.
9.什么叫线性表出？什么叫做两个向量等阶？
答：设?1,?2,?,?m,?都是数域P上的n维向量，如果有P中的m个数k1,?,km，使
??k1?1?k2?2???km?m，
那么称?是?1,?2,?,?m的线性组合，或称?可以由?1,?2,?,?m线性表出（线性表示）. 如果向量组?1,?2,?,?r中每个向量都可以由向量组?1,?2,?,?s线性表出，且
?1,?2,?,?s中的每个向量都可以由?1,?2,?,?r线性表出，那么称向量组?1,?2,?,?r与
向量组?1,?2,?,?s是等价的.
10.向量组之间的等价是不是一种等价关系？ 答：是的.不难证明以下三条成立：
1） 反身性：每一个向量组都与自身等价.
2） 对称性：如果?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?s等价，那么?1,?2,?,?s也与?1,?2,?,?r等
价.
3） 传递性：如果?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?s等价，而?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t等价，
那么?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?t等价.
11.向量的线性相关性有哪些主要性质？ 答：容易证明的有：
1） 零向量是线性相关的.含零向量的向量组也是线性相关的 2） 单个非零向量是线性无关的.
3） 设向量组?1,?2,?,?m?m?2?，则它们线性相关?至少存在一个向量，它可以由其
余向量线性表出.
4） 向量组?I?中如果有部分向量线性相关，则?I?一定线性相关. 5） 向量组?I?线性无关，则?I?的任意一个部分组必线性无关.
6） 向量组?1,?2,?,?r可以由向量组?1,?2,?,?s线性表出，则?1,?2,?,?r线性无关
?r?s.
7） 任意n?1个n维向量必线性相关.
8） 两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量. 12.
Pn???c1,c2,?,cn?|ci?P?.?i??ai1,?,ain??Pn,i?1,2,?,m'，则
?1,?2,?,?m线性相关?A'x?0有非零解，其中A??aij?m?nx??x1,?,xm?.
7.
设
?i??ai1,?,aik,ai,k?1,?,ain??Pn?i?1,2,?,m?，令
????i1,?,?ik??i?1?m,?则 12）若?1,,?2,?,?m,线性相关??1,?2,?,?m线性
相关；
2）若?1,?2,?,?m线性无关??1,?2,?,?m线性无关.
证：1）若存在不全为零的数l1,?,lm，使l1a1???lmam?0，则当然有l1?1???lm?m?0.
2）用反证法.若?1,?2,?,?m线性相关，则由1）知?1,?2,?,?m也线性相关，矛盾.
13.如果?1,?2,?,?m线性无关，但?1,?2,?,?m,?线性相关，那么?可由?1,?2,?,?m线性表出，且表示法唯一.
证：由假设存在一组不全为零的数k1,?,km?1使k1?1???km?m?km?1??0.
若km?1?0，则由k1?1???km?m?0，可证k1???km?0.这与假设矛盾，故km?1?0，于是??l1a1???lmam，其中