li??ki/km?1,i?1,2,?,m.
即?可由?1,?2,?,?m线性表出.
若??l1a1???lmam?s1a1???smam，则
?l1?s?1??1???m?lms???m0.由
?1,?2,?,?m线性无关，得li?si?i?1,2,?,m?，即表示法是唯一的.
14.什么叫做极大线性无关组？ 答：如果向量组的一个部分组满足 1） 此部分组线性无关；
2） 原向量组每个向量都可由这个部分组线性表出，则称此部分组是原向量组的一个极大线
性无关组.
注：向量组与极大线性无关组是等价的.
15.一个向量组的极大线性无关组是否唯一？
???0,0?,???1,0?,???2,0?，答：一般不唯一.比如，则?是?,?,?的极大线性无关组；?也是?,?,?的一个极大线性无关组.
注：○1一个向量组有多个极大线性无关组时，这些极大线性无关组之间也互相等价.
2由5.可知两个极大线性无关组虽可不同，但它们所含向量的个数相等. ○
16.什么叫做向量组的秩？ 答：向量组的一个极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩.只含零向量的向量组，规定它的秩为0.
17.设V是数域P上的线性空间，?1,?,?n，?1,?,?s?V，且?1,?,?n线性无关，
??1,?,?s????1,?,?n?A，其中
A???ij?n?s,?i?jP，再设A??c1,?,cs?，其中
c1,?,cs为A的n维向量.若秩A?k，且ci1,?,cik为A??c1,?,cs?的一个极大线性无
关组，则
1）由（1）式知?i???1,?2,?,?n?ci,i?1,2,?,s. （2） ○1先证?i1,?,?ik线性无关.设l1?i1???lk?ik?0，那么
0?l1?i1???lk?ik
?l1??1,?2,?,?n?ci1???lk??1,?2,?,?n?cik
???1,?2,?,?n??l1ci1,?,lkcik?. （3）
因为?1,?2,?,?n线性无关，由（3）知l1ci1,?,lkcik?0 （4） 在Pn中，ci1,?,cik线性无关，由（4）知l1???lk?0.
○2其次，再任取????1,?2,?,?s?，那么ci可由ci1,?,cik线性表出，即
ci?m1ci1???mkcik，于是?i???1,?2,?,?n?ci
???1,?2,?,?n??m1ci1???mkcik?
?m1??1,?2,?,?n?ci1???mk??1,?2,?,?n?cik ?m1?i1???mk?ik.
综合○1、○2，即知?i1,?,?ik为?1,?,?s的一个极大线性无关组. 2）由1）即得秩??1,?,?s?=k?秩A.
注：这解决了求抽象线性空间V的向量组的秩的问题.同时还把求极大线性无关组的问题转化为求Pn中一个向量组的极大线性无关组的问题（而这是已知的）. 18.
设
f1?x??6x4?4x3?x2?x?2，
f2?x??x4?2x2?3x?4，
f3?x??x4?4x3?9x2?16x?22，f4?x??7x4?x3?x?3，求f1?x?，f2?x?，f3?x?，f4?x?的极大线性无关组.
234解：把fi?x?都看成P5?x?中元素，取P5?x?中一组基1,x,x,x,x，那么
17??61??4041??234?f1,f2,f3,f4???1,x,x,x,x??12?90? （1）
???13?16?1???2?4223???令
?6??1??1??7?????????404???????1?C1??1?,C2??2?,C3???9?,C4??0?,
?????????13?16????????1??2???4??22??3?????????可求出C1,C2,C3,C4的一个极大线性无关组为C2,C3,C4.于是（1）式中相应的
f2?x?,f3?x?,f4?x?为f1?x?,f2?x?,f3?x?,f4?x?的一个极大线性无关组.
?1?1??03??30??1?1??21?19.设A???,B???,C???,D???,F???为线性空间
24127142056???????????1??12?2R的一组基，那么?A,B,C,D,F???E11,E12,E21,E22???2??4?1??1而秩??2??4
20.设?1,?,?s的秩为r，
2??30?11?. ?1725?21406?0312??30?11??3，所以向量组A,B,C,D,F的秩等于3. ?1725?21406?031?i,?,?i11r是?1,?,?s中r个向量，使得?1,?,?s中每个向
r量都可被它们线性表出，则
?i,?,?i1是?1,?,?s的一个极大线性无关组.
r证：由假设可知?1,?,?s可由
?i,?,?i线性表出，但
?i,?,?i1r可由?1,?,?s线
性表出是显然的，从而彼此等价.那么秩?i1,?,?ir=秩??1,?,?s?=r.
????i1,?,?ir线性无关.
21.如果向量组?I?可以由向量组?II?线性表出，那么?I?的秩不超过?II?的秩.
证：当向量组?II?的秩为无穷时，结论显然成立.当秩?II??m时，由假设?I?的极大线性无关组也可由?II?的极大线性无关组线性表出，那么由5.之6）可证秩?I??m?秩?II?. 注：由此可知等价的向量组具有相同的秩.
22.设?1,?2,?,?n?Pn，n维标准单位向量?1??1,0,?,0?,?,?n??0,0,?,1?可被它们线性表出，则?1,?2,?,?n线性无关.
证：?1,?,?n显然可被?1,?,?n线性表出，又?1,?,?n可被?1,?,?n线性表出，从而它们等价，于是由15.的注知秩??1,?,?n?=秩??1,?,?n?=n.即知?1,?,?n线性无关. 注：○1这个命题的逆命题也是对的.
2在抽象的n维线性空间V○
中，此命题可改为：设?1,?,?n为V的一组基，
?1,?,?r?V且?1,?,?n可由?1,?,?n线性表出，则?1,?,?n也是V的一组基.
3也可改述为：设?1,?,?n是线性空间V中的一组n维向量，则?1,?,?n线性无关○
?V中任一n维向量都可被它们线性表出.
23.证明：向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组.
证：设n维向量组?I?中一个线性无关组?II?:?1,?2,?,?s，如果?I?中每个向量可经?II?线性表出，则?II?为?I?的一个极大无关组.否则至少有一个向量???I?不能由?II?线性表出，将添到?II?中成为向量组?III?，则?III?中向量是线性无关的.这样继续下去，经过有限步（不大于n）后，向量组?II?即可扩充为???I?的一个极大无关组.
24.设向量组?1,?2,?,?m线性无关，?1,?2,?,?m,?,?线性相关.证明：或者?与?中至少有一个可由?1,?2,?,?m线性表出，或者?1,?2,?,?m,?与?1,?2,?,?m,?等价. 证：因?1,?2,?,?m,?,?线性相关，所以存在不全为零的数k1,k2,?,km,b,c使
k1?1???km?m?b??c??0.
显然，b,c不全为零，否则与?1,?2,?,?m线性无关矛盾.当b?0,c?0时，?可由
?1,?2,?,?m线性表出；当b?0,c?0时，?可由?1,?2,?,?m,?线性表出，?可由
?1,?2,?,?m,?线性表出，因而?1,?2,?,?m,?与?1,?2,?,?m,?等价.
25.设?1,?2,?,?n?Pn且线性无关，则A?1,A?2,?,A?n线性无关?秩?A?=n.其中A是数域P上的n?n矩阵.
证：令B???1,?2,?,?n?.因?1,?,?n线性无关，所以B?0. 必要性 设A?1,A?2,?,A?n线性无关，即
?A?1,?,A?n??A??1,?,?n??所以A?0，即秩?A?=n.
充分性 设秩?A?=n，即A?0，从而
AB?AB?0.
?A?1,?,A?n??A??1,?,?n??所以A?1,A?2,?,A?n线性无关.
AB?AB?0.
26. 设向量组?1,?2,?,?s的秩为r，在其中任取m个向量?i1,?i2,?,?im，则
秩?i1,?i2,?,?im?r?m?s.
证：设?i1,?i2,?,?im的秩为t，现将它的一极大无关组（含t个向量）扩充为?1,?,?s的一个极大无关组（含s个向量）.因此扩充的线性无关向量的个数为r?t.因?1,?,?s除向量组?i1,?,?im外，还有s?m个向量，因此，r?t
27.设?1??2??3????r，?2??1??3????r，?，?r??1??2????r?1，则 1）?1,?,?r与?1,?,?r有相同的秩；
2）?1,?,?r的任意一个极大线性无关组也是?1,?,?r,?1,?,?r的极大线性无关组. 证：1）由假设知?1,?,?r可由?1,?,?r线性表出.但是
???s?m，即t?r?m?s.
?1??2+???r=?r?1???1??2????r? ?1??2????r=1??1??2+???r? （1） r?1??用（1）式减去假设的每一个式子，可得