P(A)P(BA)P(AB)（1）P(AB)? ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?0.2?0.11??0.027 020.8?0.?90?.20.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
(2) P(AB)?P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.8?0.14??0.3077
0.8?0.1?0.2?0.913即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.
26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率
为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？ 【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}
C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得
?P(AC)?P(A)P(CA)P(A)P(CA)?P(A)P(CA)
2/3?0.98?0.994 922/3?0.?98?1/30.0127.?在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白
球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）?
1【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=,i=0,1,2.
3又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知
?P(A1B)?P(BA1)P(A1)P(A1B) ?2P(B)?P(BAi)P(Ai)i?02/3?1/31?
1/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3328.?某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是
次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.
【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}
由贝叶斯公式得
?P(AB)?P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) 6
0.9?60.98?0.99 80.9?60.?98?0.040.0529.?某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资
料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，
C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得
?P(A|D)?P(AD)P(A)P(D|A) ?P(D)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)0.2?0.05?0.057
0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.330.?加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分
别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.
【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.
?P(?Ai)?1?P(A1A2A3A4)
i?14 ?1?P(A( A)1)P(A2)P(3A)P4?0.9?70?.950?.9 7 ?1?0.9831.?设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击
中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n次独立射击.
1?(0.8)n?0.9
n即为 (0.8?) 0.故 n≥11 至少必须进行11次独立射击.
32.?证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立.
【证】 P(A|B)?P(A|即B)P(AB)P(AB) ?P(B)P(B) P(AB)P(B)亦即 P(AB)P(B?)P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B)
)?P(A)P( B)因此 P(AB故A与B相互独立.
7
11133.?三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为，，，求将此密
534码破译出的概率.
【解】 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则
P(?Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)
i?13423 ?1????0.6
53434.?甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，
若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.
【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3
由全概率公式，得
P(A)??P(A|Bi)P(Bi)
i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+
(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458
35.?已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10
个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：
（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.
k【解】（1） p1??C10(0.35)k(0.65)10?k?0.5138
k?03k(2) p2??C10(0.25)k(0.75)10?k?0.2241
k?41036.?一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：
（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；
（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.
【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.
24C69（1） P(A)?，也可由6重贝努里模型： 6102P(A)?C6(1294)() 10108
（2） 6个人在十层中任意六层离开，故
6P10P(B)?6
10（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C110种可能
2结果，再从六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余4人中不能
再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3
31个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C1C94C8种可
能结果；②4人同时离开，有C1③4个人都不在同一层离开，9种可能结果；有P94种可能结果，故
2131146 P(C)?C1C(CCC?C?P)/1010694899（4） D=B.故
6P10P(D)?1?P(B)?1?6
1037. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；
（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.
1【解】 （1） p1?
n?1(2) p2?(3) p1??3!(n?3)!,n?3
(n?1)!(n?1)!1?3!(n?2)!?;p2?,n?3 n!nn!38.?将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率? 【解】 设这三段长分别为x,y,a?x?y.则基本事件集为由
0
9
a?0?x??2??0?y?a ?2?a??x?y?a?2?1. 439. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无
放回的）.证明试开k次（k=1,2,?,n）才能把门打开的概率与k无关.
如图阴影部分所示，故所求概率为p?Pnk??111【证】 p?k?,k?1,2 ,?,nPnn40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，
随机地取出一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.? 【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.
在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色
的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000?（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为
512384P(A0)??0.512,P(A1)??0.384,
10001000968P(A2)??0.096,P(A4)??0.008.
1000100041.对任意的随机事件A，B，C，试证?
P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A).?
B【证】 P(A)?P[A(?C?)]P(?AB ACP(A B)CP(BC ))?P(AC)? ?P(AB)?P(AC)? ?P(AB42.?将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3
的概率.
【解】 设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.
将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故
C33!3P(A1)?43?
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