而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故
C114P(A3)?3?
41631)?1?P(A)?P(A?)?1?因此 P(A2138169? 162C1C194C33?或 P(A2)? 3416 43.?将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少
于反面次数}，C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥. 可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以
1?P(C)P(A)?
2由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为
n1n1nP(C)?C2n()()
2211 故 P(A)?[1?Cn2n2n]
2244.?掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，
由对称性知P（A）=P（B）
（1） 当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P
（A）=P（B）=0.5
(2) 当n为偶数时，由上题知
n112P(A)?[1?Cn()n]
2245.?设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次
数的概率.
【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.
乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有
=（甲正≤乙正）=（n+1?甲反≤n?乙反） （甲正>乙正）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）
由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）
1因此P(甲正>乙正)=
246.?证明“确定的原则”（Sure?thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）≥P(B).
【证】由P（A|C）≥P(B|C),得
11
P(AC)P(BC)?, P(C)P(C))?P(BC即有 P(AC )同理由 P(A|C) ),?P(B|C得 P(AC ,)?P(BC)故 P(A)?P(AC)?P(AC?)P(B?)C P ) B (P?B)C (47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节
车厢内至少有一个旅客的概率.? 【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,?,n）,则
(n?1)k1kP(Ai)??(1?)nkn2P(AiAj)?(1?)k n?n?1kP(Ai1Ai2?Ain?1)?(1?)n其中i1,i2,?,in?1是1，2，?，n中的任n?1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是
11kS1??P(Ai)?n(1?)k?C1(1?)nnni?122S2??P(AiAj)?Cn(1?)kn1?i?j?n?Sn?1?Sn?0P(?Ai)?S1?S2?S3???(?1)n?1Sni?1n1?i1?i2??in?1?nn?n?1P(Ai1Ai2?Ain?1)?Cn(1?n?1k)n
1k2kn?1k2n?n1(1?)?C(?1?)???(1)C?(1 ) ?C1nnnnnn故所求概率为
nn?1k1k2i2n?1n?1(?1)C(1?) 1?P(?Ai)?1?C1(1?)?C(1?)???nnni?1nnn48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只
要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.? 【证】
12
在前n次试验中，A至少出现一次的概率为
1?(1??)n?1(n??)
49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋
中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？
【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}
B={这只硬币为正品}
mnP,B(?)由题知 P(B)? m?nm?n1P(A|B)?r,P(A|B)?1
2则由贝叶斯公式知
P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B)? P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)m1?rmm?n2 ? ?rm1nm?2n???1m?n2rm?n50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火
柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？?
1【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B1)?P(B2)?.（1）发现
2一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2n?r次，设n次取自B1盒（已空），n?r次取自B2盒，第2n?r+1次拿起B1，发现已空。把取2n?r次火柴视作2n?r重贝努里试验，则所求概率为
1n1n?r11np1?2Cn()()??C 2n?rn?r2r?r2222式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.
（2） 前2n?r?1次取火柴，有n?1次取自B1盒，n?r次取自B2盒，第2n?r
次取自B1盒，故概率为
1n?11n?r112n?r?1n?1n?1p2?2C2()()?C() n?r?12n?r?1222251.?求n重伯努利试验中A出现奇数次的概率. 【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由
0n1n?12n?2n0(q?p)n?C0?C2???Cnnpq?Cnpqnpqnpq?1 0n1n?122n?2nn0(q?p)n?C0?Cnpq???(?1)nCnpq npq?Cnpq以上两式相减得所求概率为
n?13n?3p1?C1?C3?? npqnpq 13
1?[1?(q?p)n] 21?[1?(1?2p)n] 2若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，
即得
1p2?[1?(1?2p)n].
252.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值. 【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB
（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB
所求 (A?B)(A?B)(?A? ?[(AB?AB?)(A?BB)?(A B)A )B] ??
故所求值为0.
53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：?
ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）. 【解】由P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
9?3P[A(2?)] ?3P(A)161311故P(A)?或,按题设P（A）<,故P（A）=.
424454.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率
与B发生A不发生的概率相等，求P（A）.
1)?P(?AB)?1?P?(A?B) ① 【解】 P(AB9P(AB)?P(AB) ②
)?故 P(A)?P(ABP(B?)P( AB故 P(A)?P(B) ③
由A,B的独立性，及①、③式有
1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B) 9 ?1?2P(A)?P[A(2 )] 14
?[1?PA(2) ]1?? 故 1?P(A)324故 P(A)?或P(A)?（舍去）
332即P（A）=.
355.随机地向半圆0
2ax?x2 (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区
域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？?
1【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为πa2.阴影部分面积为
2π212a?a 42故所求概率为
π212a?a42?1?1 p?122ππa256.?设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一
件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.
【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}
C242C10P(AB)1 P(B|A)???2CP(A)51-26C1057.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名
表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.?
（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；?
（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3.
Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.
1)?,i?1,2则 P(A ,3i3375P(B1|A1)?,P(B1|A2)?,P(B1|A3)?
101525137529(1) p?P(B1)??P(B1|Ai)?(??)?
310152590i?13 15